【原】這是在捉迷藏嗎？2021吉林中考數(shù)學(xué)壓軸題，您能找出所有的鬼嗎？

老黃的圖書館 2022-06-19 發(fā)布于廣東

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這道中考數(shù)學(xué)關(guān)于拋物線的壓軸題，感覺像在玩捉迷藏，來自2021年吉林省吉林市中考數(shù)學(xué)。看看您能不能把所有藏起來的“鬼”(答案)找出來。題型還是蠻新的。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x^2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(0,-7/4), B(1,1/4).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求二次函數(shù)y=x^2+bx+c的最大值和最小值；

(3)點(diǎn)P為此函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ//x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

-2m+1. 已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長度隨m的增大而減小.

①求m的值取范圍;

②當(dāng)PQ≤7時(shí)，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y=x^2+bx+c(-2≤x<1/3)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對應(yīng)的m的取值范圍.

分析：(1)第一小題當(dāng)然是送分題了，不過設(shè)解析式時(shí)，設(shè)成y=x^2+bx-7/4，會(huì)比較簡便，求出結(jié)果注意快速檢驗(yàn)答案的正確性。萬一大意錯(cuò)了，下面的題都不用做了。

(2)求拋物線的對稱軸，發(fā)現(xiàn)對稱軸在定義域上，所以可以直接求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，就是最小值。而最大值在離對稱軸更遠(yuǎn)的端點(diǎn)上。離得近那個(gè)端點(diǎn)就不用求函數(shù)值了，浪費(fèi)時(shí)間，這個(gè)時(shí)間不如用來檢驗(yàn)答案的正確性。

(3)①就是得到PQ關(guān)于m的一次函數(shù)解析式，由斜率判斷一次函數(shù)的增減性，就可以了。

②要結(jié)合①的結(jié)論。借助圖像會(huì)比較好辦。由于拋物線殘缺，右側(cè)對稱性缺得比較多，所以有一個(gè)區(qū)間上天然只有一個(gè)交點(diǎn)，關(guān)鍵求這個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)，就是原區(qū)間右端點(diǎn)的拋物線對稱點(diǎn)。

設(shè)PQ與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，比較PC和PQ的大小，如果PQ<PC，無論如何，都只有一個(gè)交點(diǎn)。

剩余的區(qū)間也不是一定有兩個(gè)交點(diǎn)，還有一個(gè)藏著的“鬼”沒有找出來，就是雖然PQ>=PC，但Q、C在P點(diǎn)兩側(cè)的情形。最后別忘了考慮PQ<=7，顯然這個(gè)條件，其實(shí)沒有什么用。

下面組織解題過程，請對照上面的分析理解解題過程：

解：(1)將B(1,1/4)代入y=x^2+bx-7/4，得1/4=1+b-7/4，解得：b=1，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x^2+x-7/4.

(2)拋物線的對稱軸為：x=-1/2,

∴f(-1/2)=1/4-1/2-7/4=-2最小; ∴f(2)=4+2-7/4=17/4最大.

解：(3)①PQ=|-2m+1-m|=|3m-1|>0,

當(dāng)m>1/3時(shí), PQ=3m-1，不符合條件，舍去；

當(dāng)m<1/3時(shí), PQ=-3m+1，符合條件；

∴m的值取范圍為：m<1/3.