?《四元玉鑒》是中國元代數(shù)學重要著作之一，數(shù)學家朱世杰所著?！端脑耔b》分卷首、上卷、中卷、下卷，24門，收錄288問，包括天元術232問，二元術36問，三元術13問，四元術7問。卷首四問是例題，有草（解題步驟），其他284問只有術而沒有草。1837年，清代數(shù)學家羅士琳補草，刊行《四元玉鑒細草》三卷。所有問題都與方程式或方程組有關。介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法─”四元術”、高階等差級數(shù)的計算─”垛積術”以及”招差術”（有限差分）等方面的研究成果。

《四元玉鑒》是朱世杰闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題（需設立四個未知數(shù)者）有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。卷首列出了賈憲三角等四種五幅圖，給出了天元術、二元術、三元術、四元術的解法范例；后三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創(chuàng)造四元消法，解決多元高次方程組問題是該書的最大貢獻，書中另一個重大成就是系統(tǒng)解決高階等差級數(shù)求和問題和高次招差法問題。

在朱世杰之前，古代中國數(shù)學已有了解方程的方法———“天元術”，“天元術”解方程是設“天元為某某”，某某就是（x）。朱世杰不僅繼承沿用了天元術，方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數(shù)不止一個時，除設未知數(shù)天元（x）外，還設地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組，然后求解。在歐洲，解聯(lián)立一次方程始于16世紀，關于多元高次聯(lián)立方程的研究則是18、19世紀的事了，朱世杰的“天元術”比歐洲早了400多年。

朱世杰對“垛積術”的研究，實際上得到了高階等差級數(shù)求和問題的普遍的解法。自宋代起我國就有了關于高階等差級數(shù)求和問題的研究，沈括（1031-1095年）和楊輝（1261-1275年）的著作中，都有垛積問題，這些垛積問題有一些就涉及高階等差級數(shù)，朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化，得到了一串三角垛的公式。

《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學名著，是宋元數(shù)學集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學著作?，F(xiàn)代數(shù)學史研究者對《四元玉鑒》給予了高度評價。著名科學史專家喬治·薩頓說，《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”。編著《中國科學技術史》的李約瑟這樣評價朱世杰和《四元玉鑒》：“他以前的數(shù)學家都未能達到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。

朱世杰之后，元代再無高深的數(shù)學著作出現(xiàn)，漢唐宋元的數(shù)學著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年(1772年)開《四庫全書》館時，挖掘了不少古代數(shù)學典籍，朱世杰的著作卻未被發(fā)現(xiàn)，因此，起初沒有編入；1799年阮元、李銳等人編纂數(shù)學家傳記《疇人傳》時，也未介紹《四元玉鑒》。之后不久，阮元在浙江訪得此書，旋即將其編入《四庫全書》，并把抄本交給李銳校算（未校完），后由何元錫按此抄本刻印，這是《四元玉鑒》1303年初版以來的第一個重刻本。1839年揚州學者羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所編著的《四元玉鑒細草》，羅氏對《四元玉鑒》書中每一問題都作了細草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》也還無著落。后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，于是請人在北京找到了順治十七年（1660年）朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，這樣，《算學啟蒙》又在揚州重新刊印出版，這就是該書現(xiàn)存各種版本的母本。

元代朱世杰這兩部杰出的數(shù)學著作都是在揚州完成、刻印的，失傳了幾百年后，它們又被揚州學者發(fā)現(xiàn)、校算、注釋，并在揚州重新刻印出版，僅此可見，揚州在我國數(shù)學發(fā)展史上有著十分重要的地位。

作者簡介

朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數(shù)學家、教育家，畢生從事數(shù)學教育。朱世杰在當時天元術的基礎上發(fā)展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”，即高階等差數(shù)列的求和方法，與“招差術”，即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。

朱世杰“以數(shù)學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數(shù)學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。

《算學啟蒙》是一部通俗數(shù)學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學高峰的又一個標志，其中最杰出的數(shù)學創(chuàng)造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術”（高次內(nèi)插法）。

宋元時期，中國數(shù)學鼎盛時期中杰出的數(shù)學家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學家和數(shù)學教育家。朱世杰平生勤力研習《九章算術》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學家。

附、《算學啟蒙》簡介

算學啟蒙上中下三卷，元大德己亥(1299年）朱世杰撰，共20門，凡259問，所采用的名詞術語，多與《四元玉鑒》為表里，由卷首列的籌算布列規(guī)則，直到天元術，由淺入深，循序漸進，名為啟蒙，實為《四元玉鑒》的導引?！端銓W啟蒙》卷首有淮楊數(shù)學家趙元鎮(zhèn)的序。趙元鎮(zhèn)也曾出資替朱世杰刻印《四元玉鑒》本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數(shù)學各方面的內(nèi)容，由淺入深，形成了一個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數(shù)進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數(shù)加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中正負數(shù)乘法法則不僅在中國數(shù)學著作中，在世界上也是首次出現(xiàn)。許多歌訣比楊輝的更加完整準確，有的已與現(xiàn)代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數(shù)學著作中第一次出現(xiàn)的與現(xiàn)今一致的口訣。

本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷算法和歌訣的應用題，以及各種比例算法。許多問題反映了元代的社會經(jīng)濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關于分數(shù)運算、垛積（即高階等差級數(shù)求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中系數(shù)變號的問題。

《算學啟蒙》是一部很好的數(shù)學教材，它把當時的初級和中級數(shù)學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統(tǒng)，確是一部很好的數(shù)學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人于北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，后來諸版皆依此。