宋元時(shí)期，中國數(shù)學(xué)鼎盛時(shí)期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。朱世杰平生勤力研習(xí)《九章算術(shù)》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學(xué)家。

朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號(hào)松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數(shù)學(xué)家、教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育。有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù)。朱世杰在當(dāng)時(shí)天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展出“四元術(shù)”，也就是列出四元高次多項(xiàng)式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”，即高階等差數(shù)列的求和方法，與“招差術(shù)”，即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學(xué)啟蒙》與《四元玉鑒》。

《算學(xué)啟蒙》由淺入深，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù)，儼然形成一個(gè)完整體系。書中明確提出正負(fù)數(shù)乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì)，概括出若干新的乘法公式和根式運(yùn)算法則，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組。《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù)，即多元高次方程組的建立和求解方法。秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi)。

朱世杰長期從事數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè)，以數(shù)學(xué)名家周游各地20多年，四方登門來學(xué)習(xí)的人很多。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）。

在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意義。如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山，則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰。站在朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，會(huì)有'一覽眾山小'之感。朱世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度。這主要表現(xiàn)在：首先是方程理論。在列方程方面，蔣周的演段法為天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作，他已具有尋找等值多項(xiàng)式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛，李冶基本上擺脫了這種束縛，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進(jìn)入成熟階段。在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出四次方程正根，秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題。至此，一元高次方程的建立和求解都已實(shí)現(xiàn)。而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件。李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的四元術(shù)正是對(duì)二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高。由于四元已把常數(shù)項(xiàng)的上下左右占滿，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了。從方程種類看，天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程。從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發(fā)展．而朱世杰，則突破了有理式的限制，開始處理無理方程．其次是高階等差級(jí)數(shù)的研究．沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級(jí)數(shù)之先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級(jí)數(shù)求和公式．朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級(jí)數(shù)的求和問題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了三角垛統(tǒng)一公式．他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式．第三是幾何學(xué)的研究。宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對(duì)象的．李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要定理--射影定理和弦冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系．朱世杰的工作，使得幾何研究的對(duì)象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步。

朱世杰的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世杰。除了四元術(shù)以外，《四元玉鑒》中還有兩項(xiàng)重要成就，即創(chuàng)立了一般的高階等差級(jí)數(shù)求和公式及等間距四次內(nèi)插法公式，后者通常稱為招差術(shù)．此書代表著宋元數(shù)學(xué)的最高水平，美國科學(xué)史家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)的杰出數(shù)學(xué)著作之一”。朱世杰處于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的鼎盛時(shí)期，當(dāng)時(shí)社會(huì)上“尊崇算學(xué)，科目漸興”，數(shù)學(xué)著作廣為傳播。