典型例題

　　填空題:

　　例 下列命題：①一組對邊平行且相等的四邊形是梯形；②一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形；③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是梯形；④一條直線與矩形的一組對邊相交，必分矩形為兩個直角梯形．其中真命題的序號是_______.

　　分析: 可采用反例法．即舉的例子符合題沒但不符合結(jié)論，從而說明原命題是假命題．①可舉反例：平行四邊形；②可證得另一組對邊不平行，故符合定義；③可舉反例：矩形；④直線與矩形垂直相交，則得到兩個矩形．

　　答案  ②

　　說明：

　　梯形定義包括兩個要素：1．一組對邊平行；2．另一組對邊不平行；不要認(rèn)為只要有一組對邊平行的四邊形就是梯形．

　　閱讀題：

　　例 （青海省2001年中考題）閱讀了題和分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知，四邊形 中， ， ， ，求證：四邊形 是等腰梯形．

　　分析：要證四邊形 是等腰梯形，因為 ，所以只要證四邊形 是梯形即可；又因為 ，故只需證 即可；要證 ，現(xiàn)有下圖所示四種添作輔助線的方法，請任意選擇其中兩種圖形，對原題進(jìn)行證明．

　　解答略.

　　說明：這是一道設(shè)計得很好的閱讀型試題．題目不僅給出了分析思路，還提供了四個已有輔助線的圖形，說明本題有多種解法．但是，這些方法，體現(xiàn)了一個基本思路：努力轉(zhuǎn)化，借助三角形知識加以突破，完成證明．

　　證明題：

　　例  如圖，在梯形 中， ， ， 、 為 、 的中點。

　　求證：

　　分析：梯形的問題往往轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形來處理，根據(jù)條件來決定轉(zhuǎn)化和輔助線的添加.

　　證法一：如圖，延長 ， 相交于 點，連結(jié) ， .

　　∵ 　　

　　∵ 、 為 、 的中點，∴ ，

　　∴ ，

　　∵ 　　∴ 　　∴

　　∴ 、 、 三點共線　　∴ .

　　證法二  如圖，過點 ，作

　　交 于 ， 交 于

　　∵ ，

　　∴四邊形 是平行四邊形

　　∴

　　同理：

　　∵   ∴

　　∵

　　∴

　　∵ 　∴ ，

　　∵ 　∴ 　∴

　　∵ 　∴ 　即

　　證法三  如圖，過點 作 交 于 ， 交 于 .

　　∵ ，

　　∴四邊形 是平行四邊形

　　∴

　　同理：

　　∴ ，

　　∵   ∴

　　∵   ∴

　　∵   ∴   ∴

　　∴   ∴ 即 . 

　　說明：解題時要注意分析條件和結(jié)論，選擇合適的切入點.

梯形典型例題之作圖題

　　例  已知兩底邊及兩條對角線求作梯形．

　　已知：線段 ， ， ，

　　求作：梯形 ，使 ， ， ， ， ．

　　分析  如圖，假設(shè)梯形 已作出， ， ， ， ， ，延長 到 ，使 ，連結(jié) ，則四邊形 是平行四邊形，所以 ，故先作 ．

　　   作法（l）作 ，使 ， ， ．

　　（2）過點 作 ，使

　　（3）在 上截取 ，連結(jié) ，

　　∴  四邊形 為所求作的梯形．

　　證明   ∵ ， ， ， ，

　　∵     ∴四邊形 是平行四邊形

　　∴   ∴梯形 就是所求作的梯形．

　　討論： 如果 ， ， 三條線段中，最長的一條線段大于或等于其他兩條線段之和，則此作圖題無解．

梯形典型例題之面積題

　　例  如圖，在梯形 中， ， 為 的中點．

　　求證： .

　　分析：梯形的問題往往轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形來處理，根據(jù)條件來決定轉(zhuǎn)化和輔助線的添加. 

　　證法一  如圖，延長 交 的延長線于 ．

　　  ∵     ∴ ，

　　  ∵   ∴

　　  ∴ ，    ∴ 是 的中線

　　 ∴

　　 ∴

　　 ∴

　　證法二  如圖，過 點作 交 于 ，交 的延長線于 .

　　∵   ∴

　　∵    ∴

　　∴   ∴

　　∵   ∴

　　說明：解題時要注意分析條件和結(jié)論，選擇合適的切入點.