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匯總丨102條作幾何輔助線的規(guī)律

 長沙7喜 2016-04-09
　　幾何中，同學們最頭疼的就是做輔助線了，今天收集了做輔助線的102條規(guī)律，從此，再也不怕了！
線、角、相交線、平行線
規(guī)律1
如果平面上有n(n≥2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條直線，一共可以畫出n(n－1)條。

規(guī)律2
平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個部分。

規(guī)律3
如果一條直線上有n個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為n(n－1)條。

規(guī)律4
線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半。

規(guī)律5
有公共端點的n條射線所構(gòu)成的交點的個數(shù)一共有n(n－1)個。

規(guī)律6
如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n－1）個。

規(guī)律7
如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成n（n－1）對對頂角。

規(guī)律8
平面上若有n（n≥3）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）個。

規(guī)律9
互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90°。

規(guī)律10
平面上有n條直線相交，最多交點的個數(shù)為n(n－1)個。

規(guī)律11
互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半。

規(guī)律12
當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。

規(guī)律13
已知AB∥DE,如圖⑴～⑹,規(guī)律如下：
規(guī)律14
成“8”字形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi)角和的一半。

三角形部分
規(guī)律15
在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關系定理及不等式性質(zhì)證題。
注意：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題。

規(guī)律16
三角形的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內(nèi)角的一半。

規(guī)律17
三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個內(nèi)角的一半。

規(guī)律18
三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個內(nèi)角的一半。

規(guī)律19
從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差（的絕對值）的一半。
注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力。

規(guī)律20
在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。

規(guī)律21
有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律22
有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律23
在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律24
截長補短作輔助線的方法
截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；
補短法：延長較短線段和較長線段相等.
這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法。
當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：
①a＞b
②a±b = c
③a±b = c±d

規(guī)律25
證明兩條線段相等的步驟：
①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。
②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。
③如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律26
在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等。

規(guī)律27
三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等。

規(guī)律28
條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形。

規(guī)律29
連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題。

規(guī)律30
有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”。

規(guī)律31
當證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律32
當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件。

規(guī)律33
有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題。

規(guī)律34
有等腰三角形時常用的輔助線
⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線
⑵有底邊中點時，常作底邊中線
⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題
⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線
⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線
⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

規(guī)律35
有二倍角時常用的輔助線
⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角
⑵平分二倍角
⑶加倍小角

規(guī)律36
有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來。

規(guī)律37
有垂直時常構(gòu)造垂直平分線。

規(guī)律38
有中點時常構(gòu)造垂直平分線。

規(guī)律39
當涉及到線段平方的關系式時常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。

規(guī)律40
條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中。

四邊形部分
規(guī)律41
平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半。

規(guī)律42
平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差。

規(guī)律43
有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形。

規(guī)律44
有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段。
 
規(guī)律45
平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等。

規(guī)律46
平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律47
平行四邊形內(nèi)任意一點與四個頂點的連線所構(gòu)成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律48
任意一點與同一平面內(nèi)的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。

規(guī)律49
平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。

規(guī)律50
有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線。

規(guī)律51
直角三角形常用輔助線方法：
⑴作斜邊上的高
⑵作斜邊中線，當有下列情況時常作斜邊中線：
①有斜邊中點時
②有和斜邊倍分關系的線段時

規(guī)律52
正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等。

規(guī)律53
有正方形一邊中點時常取另一邊中點。

規(guī)律54
利用正方形進行旋轉(zhuǎn)變換
       旋轉(zhuǎn)變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法。
       旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。
       旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

規(guī)律55
有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律56
從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形。

規(guī)律57
從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形。

規(guī)律58
從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形。

規(guī)律59
延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。

規(guī)律60
有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

規(guī)律61
有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結(jié)并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。

規(guī)律62
梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線。

規(guī)律63
任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等于對角線乘積的一半。

規(guī)律64
有線段中點時，常過中點作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。

規(guī)律65
有下列情況時常作三角形中位線。
⑴有一邊中點；
⑵有線段倍分關系；
⑶有兩邊（或兩邊以上）中點。

規(guī)律66
有下列情況時常構(gòu)造梯形中位線
⑴有一腰中點
⑵有兩腰中點
⑶涉及梯形上、下底和

規(guī)律67
連結(jié)任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形。

規(guī)律68
連結(jié)對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形。

規(guī)律69
連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形。

規(guī)律70
連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形。

規(guī)律71
連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。

規(guī)律72
等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長）。

規(guī)律73
等腰梯形的對角線與底構(gòu)成的兩個三角形為等腰三角形。

規(guī)律74
如果矩形對角線相交所成的鈍角為120o，則矩形較短邊是對角線長的一半。

規(guī)律75
梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積。

規(guī)律76
若菱形有一內(nèi)角為120°，則菱形的周長是較短對角線長的4倍。

相似形和解直角三角形部分
規(guī)律77
當圖形中有叉線（基本圖形如下）時，常作平行線。

規(guī)律78
有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形。

規(guī)律79
當已知或求證中，涉及到以下情況時，常構(gòu)造直角三角形。
⑴有特殊角時，如有30°、45°、60°、120°、135°角時.
⑵涉及有關銳角三角函數(shù)值時.
構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實現(xiàn).

規(guī)律80
0°、30°、45°、60°、90°角的三角函數(shù)值表。
另外：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：

0°可記為北京電話區(qū)號不存在，即：010不存在，90°正好相反
30°、45°、60°可記為：
1、2、3、3、2、1，
3、9、27，
弦比2，切比3，
分子根號別忘添.
其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得。

規(guī)律81
同角三角函數(shù)之間的關系：
（1）.平方關系： sin2α+cos2α=1
（2）.倒數(shù)關系：tanα·cotα=1
（3）.商數(shù)關系：

規(guī)律82
任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

規(guī)律83
任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

規(guī)律84
三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。

規(guī)律85
等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的√2倍。

規(guī)律86
在含有30°角的直角三角形中，60o角所對的直角邊是30°角所對的直角邊的√3倍。（即30°角所對的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍√3。）

規(guī)律87
直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍。

圓部分
規(guī)律88
圓中解決有關弦的問題時，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。

規(guī)律89
有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角。

規(guī)律90
有弦中點時常連弦心距。

規(guī)律91
證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距。

規(guī)律92
有弧中點（或證明是弧中點）時，常有以下幾種引輔助線的方法：
⑴連結(jié)過弧中點的半徑
⑵連結(jié)等弧所對的弦
⑶連結(jié)等弧所對的圓心角

規(guī)律93
圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對的弧與它對頂角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

規(guī)律94
圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半。

規(guī)律95
有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題。

規(guī)律96
有垂直弦時也常作直徑所對的圓周角。

規(guī)律97
有等弧時常作輔助線有以下幾種：
⑴作等弧所對的弦
⑵作等弧所對的圓心角
⑶作等弧所對的圓周角

規(guī)律98
有弦中點時，常構(gòu)造三角形中位線。

規(guī)律99
圓上有四點時，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形。

規(guī)律100
兩圓相交時，常連結(jié)兩圓的公共弦。

規(guī)律101
在證明直線和圓相切時，常有以下兩種引輔助線方法：
⑴當已知直線經(jīng)過圓上的一點，那么連結(jié)這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。
⑵如果不知直線與圓是否有交點時，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可。

規(guī)律102
當已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題。

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