第一章    有理數(shù)

①我們知道，像3,1.8％，3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)。像-3， -2.7％，-4.5，-1.2這樣在正數(shù)前加上符號“-”（負）的數(shù)叫做負數(shù)。有時，為了明確表達意義，在正數(shù)前面也加上“ ”（正）號。例如， 3， 2， 0.5， ，…就是3，2, 0.5，…。一個數(shù)前面的“ ”“-”號叫做它的符號。

②0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。

③中國古代用算籌（表示數(shù)的工具）進行計算，紅色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負數(shù)。

④把0以外的數(shù)分為正數(shù)和負數(shù)，它們表示具有相反意義的量。隨著對正數(shù)、負數(shù)意義認識的加深，正數(shù)和負數(shù)在實踐中得到了廣泛應用。在地形圖上表示某地的高度時，需要以海平面為基準（規(guī)定海平面的海拔高度為0m），通常用正數(shù)表示高于海平面的某地某地的海拔高度，用負數(shù)表示低于海平面的某地的海拔高度。例如，珠穆朗瑪峰的海拔高度為8844.43m。吐魯番盆地的海拔高度為-155m。記賬時，通常用正數(shù)表示收入款額，用負數(shù)表示支出款額。

⑤0是正數(shù)與分數(shù)的分界。0℃是一個確定的溫度，海拔0m表示海平面的平均高度。0的意義已不僅是表示“沒有”。

①我們學過的數(shù)有：

正整數(shù)，如1，2,3，…；

零，0；

負整數(shù)，如-1，-2，-3，…；

正分數(shù)，如，，，0.1,5.32，…；

負分數(shù)，如-0.5，-，-，-，-150.25，…。

②正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。

③整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（rational  numbe）。

④從小學開始，我們首先認識了正整數(shù)，后來又增加了0和正分數(shù)，在認識了負整數(shù)和負分數(shù)后，對數(shù)的認識就擴充到了有理數(shù)范圍。

①在數(shù)學中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸（number  axis），它滿足以下要求：

⑴在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點（origin）；

⑵通常規(guī)定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；

⑶0是正數(shù)和負數(shù)的分界點；原點是數(shù)軸的“基準點”。

舉個數(shù)軸的栗子：

溫馨提示：數(shù)軸上也可以是分數(shù)，小數(shù)！

負數(shù)在數(shù)軸上：從原點向左

正數(shù)在數(shù)軸上：從原點向右（注意原點是0）

歸納（填空題，自己填著做）：                   一般地，設a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的（ ）

邊，與原點的距離是（   ）個單位長度；表示數(shù)－a的點在原點的（）邊，與原點的距離是（   ）個單位長度。

歸納：一般地，設a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點的距離是a的點有兩個，它們分別在原點左右，表示-a和a，我們說這兩點關于原點對稱。

①像2和-2,5和-5這樣，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)（opposite  number）。這就是說，2的相反數(shù)是-2，-2的相反數(shù)是2；5的相反數(shù)是-5，-5的相反數(shù)是5.

②一般地，a和-a互為相反數(shù)。特別的，0的相反數(shù)是0。這里，a

表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0。

例如：

當a＝1時，-a＝-1,1的相反數(shù)是-1；同時，-1的相反數(shù)是1。

①一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值 （absolute  value），記作▕ a ▏。這里的數(shù)a可以是正數(shù)、負數(shù)和0。

②由絕對值的定義可知：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即

⑴如果a＞0，那么▕ a ▏＝a；

⑵如果a＝0，那么▕ a ▏＝0；

⑶如果a＜0，那么▕ a ▏＝-a。

③數(shù)學中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。

④一般地，

⑴正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；

⑵兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

例如（填空題，自己填著做）：

1＿0,0＿-1,1＿-1，-1＿-2。

⑤異號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對值。

① 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0.

③ 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

溫馨提示：計算時，先定符號，再算絕對值！

有理數(shù)加法法則

有理數(shù)的加法中同樣也適用加法交換律、結合律！

有理數(shù)的加法中，兩個數(shù)相加，交換數(shù)的位置，和不變。

加法交換律：a b＝b a

有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

加法結合律：（a b） c＝a（b c）

有理數(shù)減法法則

減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

有理數(shù)減法法則也可以表示成：a-b＝a （-b）

有理數(shù)的加減混合運算中引入相反數(shù)后，加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算：a b-c＝a b （-c）

歸納：

正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負數(shù)，積是負數(shù)；負數(shù)乘正數(shù)，積也是負數(shù)。積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積。

歸納：

負數(shù)乘負數(shù)，積為正數(shù)，乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積。

①一般地，我們有有理數(shù)乘法法則：

⑴兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘 。                     ⑵任何數(shù)與0相乘，都得0。         

②有理數(shù)相乘，可以先確定積的符號，再確定積的絕對值。

③要得到一個數(shù)的相反數(shù)，只要將它乘-1.

④乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

溫馨提示：多個有理數(shù)相乘，可以把它們按順序相乘！

歸納：

幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)。

有理數(shù)乘法也同樣適用乘法交換律、結合律與分配律.。

⑤一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。

乘法交換律：ab＝ba

⑥一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。

乘法結合律：（ab）c＝a（bc）

⑦a×b也可以寫為a·b或ab。當用字母表示乘數(shù)時，“×”號可以寫為“·”或省略。

⑧一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。

分配律：a（b c）＝ab ac。

⑨運算律在運算中有重要作用，它是解決許多數(shù)學問題的基礎。

有理數(shù)除法法則：

除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)

可以表示為：a÷b＝a·（b≠0）

從有理數(shù)除法法則，容易得出：

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。（這是有理數(shù)除法法則的另一種說法）

溫馨提示：分數(shù)可以理解為分子除以分母！

①一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，即記作a?，讀作“a的n次方”。乘方的結果叫做冪（power）。在a?中，a叫做底數(shù)（base number），n叫做指數(shù)（exponent），當a?看作a的n次方的結果時，也可讀作“a的n次冪”。

例如，在9?中，底數(shù)是9,指數(shù)是4,9?讀作“9的4次方”，或“9的4次冪”。

②根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：

負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。

顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。

③做有理數(shù)的混合運算時，應注意以下運算順序：

⑴先乘方，再乘除，最后加減；

⑵同級運算，從左到右進行；

⑶如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

①10的乘方有如下的特點：

102＝100，103＝1000，10?＝10000,…。

一般地，10的n次冪等于10…0（在1的后面有n個0），所以可以利用10的乘方表示一些大數(shù)，例如：

567000000＝5.67×100000000＝5.67×108，讀作“5.67乘10的8次方（冪）”。

這樣不僅可以使書寫簡短，同時還便于讀數(shù)

像上面這樣，把一個大于10的數(shù)表示成a×10?的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），使用的是科學記數(shù)法。

①“約有五百人參加了今天的會議。”五百這個數(shù)只是接近實際人數(shù)，但與實際人數(shù)還有差別，它是一個近似數(shù)（approximate number）。

舉個栗子（自己填著做）：按四舍五入法對圓周率π取近似數(shù)時，有

π≈3（精確到個位），

π≈3.1（精確到0.1，或叫做精確到十分位），

π≈3.14（精確到0.01，或叫做精確到百分位），

π≈3.142（精確到         ，或叫做精確到            ），

π≈3.1416（精確到           ， 或叫做精確到              ），

……