第一部分有理數(shù)知識點梳理

一、有理數(shù)的意義

1、 正數(shù)和負(fù)數(shù)

知識點1 負(fù)數(shù)的引入

正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。

知識點2 正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

（1） 像3、1.5、、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。

（2） 像－3、－1.5、、－584等在正數(shù)前面加“－”(讀作負(fù))號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。

（3） 零即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

注意：（1）為了強調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“＋”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作＋3、＋1.5、＋。

（2）對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如：－a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則－a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則－a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，－a就不是負(fù)數(shù)了（此時－a是正數(shù)）。

知識點3 有理數(shù)的有關(guān)概念

（1） 有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

注：（1）有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本講中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。

   （2）因為分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。

   （3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。

（2） 整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

（3） 分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。

知識點4 有理數(shù)的分類

（1） 按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：

（2） 按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

注 通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù)；a<0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。

2、 數(shù)軸

數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點之間建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。

知識點1 數(shù)軸的概念

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸

數(shù)軸的定義包含三層含義：一，數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數(shù)軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。

知識點2 數(shù)軸的畫法

（1）畫一條直線（一般畫成水平的直線）。

（2）在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標(biāo)上“0”）。

（3）確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。

（4）選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為－1，－2，－3……

注 （1）原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當(dāng)選??；

   （2）確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……；從原點向左，依次表示為－2，－4，－6，……；

 

知識點3 數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示。正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。

知識點4 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

3、相反數(shù)

知識點1 相反數(shù)的概念

（1）相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如下圖，4與－4互為相反數(shù)，與－互為相反數(shù)。

（2）相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

知識點2 相反數(shù)的表示方法

一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a。這里a表示任意的一個數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、或者0。

知識點3 多重符號的化簡

（1）在一個數(shù)的前面添上一個“＋”號，仍然與原數(shù)相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

（2）在一個數(shù)的前面添上一個“－”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如－（－3）就是－3的相反數(shù)，因此，－（－3）＝3。

4、絕對值

知識點1 絕對值的概念

（1）絕對值的幾何定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù)a的絕對值記作“”

（2）絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即

知識點2 兩個負(fù)數(shù)大小的比較

因為兩個負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

比較兩個負(fù)數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩個負(fù)數(shù)的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大??；三、根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。

知識點3 有理數(shù)大小的比較法則

正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

二、有理數(shù)的運算

1、有理數(shù)的加法

知識點1 有理數(shù)的加法

把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫做有理數(shù)的加法。

相加的兩個有理數(shù)有以下幾種情況：（1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；（3）兩數(shù)異號，即一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)；（4）一個是正數(shù)，一個是0；（5）一個是負(fù)數(shù)，一個是0；（6）兩個都是0。

知識點2 有理數(shù)加法法則

（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。

（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

知識點3 有理數(shù)加法的運算定律

（1）加法交換律：。

（2）加法結(jié)合律：。

2、有理數(shù)的減法

知識點1 有理數(shù)減法的意義

有理數(shù)減法的意義與小學(xué)學(xué)過的減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。

知識點2 有理數(shù)減法法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即

3、有理數(shù)的加減混合運算

知識點1 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義

對于有理數(shù)的加減混合運算中的減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣一來，就將原來的混合運算統(tǒng)一為加法運算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。

知識點2 有理數(shù)加減混合運算的方法

一、運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

二、運用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡便運算。

4、有理數(shù)的乘法

知識點1 有理數(shù)乘法法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。

知識點2 有理數(shù)乘法法則的推廣

（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。

（2）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為0，積就為0。

知識點3 有理數(shù)乘法的運算定律

（1）乘法交換律：。

（2）乘法結(jié)合律：。

（3）分配律：。

5、有理數(shù)的除法

知識點1 倒數(shù)的概念

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

由于  ，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時，a的倒數(shù)是。若a、b互為倒數(shù)，則ab＝1。

知識點2 有理數(shù)除法法則

一、除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即。

二、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

6、有理數(shù)的乘方

知識點1 有理數(shù)乘方的意義

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫乘方。記作“”。乘方的結(jié)果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)， 讀作的n次方，。

知識點2 乘方運算的符號法則

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。

知識點3 科學(xué)計數(shù)法

把一個大于10的數(shù)記成“”的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位中只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。如42 000 000＝4.2×。

7、有理數(shù)的混合運算

知識點1 有理數(shù)混合運算的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

第二部分  有理數(shù)計算練習(xí)題

計算的關(guān)鍵：審題，判斷運算順序，然后再根據(jù)法則進(jìn)行計算。一定要注意符號問題。

（－12）＋13    －3－（－2）        （－3.5）－2        8－（9－10）

3－［(－2)－10］         （+3.41）－（－0.59）              

        (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )          －3－4＋19－11＋2 

                     

8＋（－）－5－（－0.25）      

     

      0-29.8-17.5+16.5-2.2+7.5

                                      

          

（－7）＋（－2）＋（＋4）－（－4）

（－2）－（－4.7）＋(－0.5)＋－（＋3.2）

－＋（＋）　　　　　　90－（－3）

－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）   

      

        

       (-16)+(+20)-(+10)-(-11);

       －24＋3.2-16-3.5+0.3;

     0-1+2-3+4-5;

 –4.2+5.7-8.4+10.2;    –30-11-(-10)+(-12)+18;

     (-7)-(-10)+(-8)-(+2);

;      ;

(-1.2)+[1-(-0.3)]      (-12)-(+8)+(-6)-(-5)   (+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).

(－5．3)＋(＋0．2)＋(－0．7)＋(＋9．8)     (－)＋(－5．8)＋(＋)＋(－2)

 

(－0．32)＋(＋9)－(－10．32)－(＋0．4)      －3＋－6；

30           

         

         

     

             

            

     

    

     

      

(－3)2－(－3)3－22＋(－2)2     (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．   

 -9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；          2×(-3)3-4×(-3)+15．

3＋50÷22×()－1           

 (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)     (-22(1))÷14(1)×(-4)

22+(2-5)×3(1)×[1-(-5)2]

3.28-4.76+1-；    2.75-2-3+1；    42÷（-1）-1÷（-0.125）;

(-48) ÷82-(-25) ÷(-6)2;         -+()×(-2.4).

-23÷1×（-1）2÷（1）2       -14-（2-0.5）××[()2-()3];

-1×[1-3×(-)2]-( )2×(-2)3÷(-)3     (0.12+0.32) ÷[-22+(-3)2-3×];

-6.24×32+31.2×(-2)3+(-0.51) ×624.

-32-    {1+[]×(-2)4}÷(-);

（-6）-（+6）-（-7）        0-（+8）+（-27）-（+5）

(-)+(+0.25)+(-)-(+)         (+3)+(+4)-(+1)+(-3)

10-[（-8）+（-3）-（-5）]        -1-（6-9）-（1-13）

 [1.8-(-1.2+2.1)-0.2]-(-1.5)         -︱--（-）︱-︱（-）+（-）︱

 

-30-(+8)-(+6)-(-17)            ︱-15︱-(-2)-(-5)

 

-0.6+1.8-5.4+4.2               - -+-

-0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9)  - ︱-0.25︱+-(-0.125)+ ︱-0.75︱

 (3-6-7)-(-12-6+5-7)             (-2.5)+(+)+(-)+(+1)

6-9-9-[4-8-(7-8)-5]             ︱(-)+(-)︱(-)+︱

3+22×(－)           -72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2    

 

(－3)2×[ ]          8十(－3)2×(－2)    100÷(－2)2－(－2)÷(－)

－34÷2×(－)2            9-10+21；         （+）-（-）-（+）；

-（-）- ；    ×

17- 8÷（-2）+ 4×（-5）        -2÷(-5)×(-) 

 (-)-；     -×(-3)+(+18)÷(+3)-(-2)；

-1  -()×(+78)；     ÷.

                

                 

-6÷(-3×2)    17-8÷(-2)+4×(-3)

32-50÷(-2)2×(+0.1)-1                

–13-[1-(1-0.5×43)]            (-8÷23)-(-8÷2)3

–55+7+99-87                

(-5) ×(-2)2                  -32×(-3)2            

-32÷2÷2                   20-5÷(-15)

         (-12) ×5+(-1) ×52 - 12×5+(-1×5)2

(-2)2-(-52) ×(-1)5-87÷(-3) ×(-1)4       –14-(1-0.5) ××[2-(-3)2]

(-1)8- (1+2-3)×(-24)       

12＋7－5－30＋2          

         

4－5×（－）3     －3－[－5＋（1－0.2×）÷（－2）]

－14－×[ 2－（－3）2 ]    －8－3×（－1）3－（－1）4

（－0.1）3－      {0.85－[12＋4×（3－10）]}÷5

（+3.41）－（－0.59）               

  (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )     －3－4＋19－11＋2

                    

－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）       

            

（1－１－＋）×（－24）    3＋50÷2×()－1

8＋(―)―5―(―0.25)                 ―82+72÷36

7×1÷(－9＋19)             25×+(―25)×＋25×(－)

 (－79)÷2＋×(－29)           (－1)3－(1－)÷3×[3―(―3)2]

               

 

 

(– 1) － (＋6)－2.25＋                

－3÷（－1）×（－4）              

 (+12)+(-14)-（-56）+(-27)            

 (-12)÷4×(-6)÷2             

                  2   

 

 

（+12）-（-18）+（-7）-（+15）   （-3）×（-9）－8×（-5）

－63 ÷7＋45÷（－9）          

 

             

100

4×(-3)2+6;                            (-)×(-8+-);

 (-3)3 ×0.5-(-1.6)2  ÷(-2);           -32×(-3)2-(-3)3÷3;

(- 1+)×(-42);                 -×[-32×(-)2-2];

-22÷(-2)×(-)2;                  16÷(-2)3-(-)×(-4);

–3-4+19-11+2;                        -3×(-2)3-(-1)1001÷0.5.

 (-12.8)-(+13.2)+(-7.3)-2.5                

                        

                  

100