【專題研究】零點個數(shù)問題的數(shù)形結(jié)合思想

小綿羊佩蕾書社 2016-04-15

展開全文

　　“零點個數(shù)”是我們在高中數(shù)學(xué)非常常見的一類的題目，通常的做法，是畫出圖像，找出交點個數(shù)。但實際上，我們會畫的函數(shù)圖像是非常有限的，我們能夠直接畫出圖像的函數(shù)只有八類，分別是：一次、二次、反比例，指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)，雙勾函數(shù)和三角函數(shù)。而除了這八類函數(shù)以外，很多函數(shù)的圖像，我們是沒有辦法直接畫出來的。這個時候就要用到導(dǎo)數(shù)的知識了。我們以幾個例題，來展示如何通過“數(shù)形結(jié)合”來解決“零點個數(shù)”的問題。

　　剛才的例題1，就是數(shù)形結(jié)合，畫圖像找交點的經(jīng)典范例。整體看來是沒辦法畫圖像的，所以我們把它拆成兩個可以畫圖像的函數(shù)，找出它們的交點個數(shù)，其實就是原函數(shù)的零點個數(shù)。那么，對于即使分離，也沒有辦法直接畫圖像的函數(shù)，要怎么解決呢？這個時候，我們就需要利用導(dǎo)數(shù)的知識，列表之后，就可以描點畫圖了。我們再來看例題2。

例題2其實和例題1并沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，零點個數(shù)，就是畫圖像找交點。只不過，對于不是基本函數(shù)的式子，我們可以通過求導(dǎo)列表的方式，畫出它的圖像。我們只需要求出列表，求出區(qū)間端點和極值點，用平滑的曲線連接，就可以得到函數(shù)的圖像了。得到函數(shù)圖像之后，就是比較直接的觀察零點個數(shù)了。還想要補充的是，并不是所有的零點個數(shù)的題目，都需要分離參數(shù)，將想求出的未知數(shù)，單獨的放在等號的一側(cè)。有時這樣強行分離，理論上可行，但是右側(cè)函數(shù)很難求導(dǎo)，或很難求解，尤其是要做除法的時候。具體是分離參數(shù)，還是整體求導(dǎo)，或是進行一些變形，需要結(jié)合題目的實際情況來操作。

　　再來講一個廣州曾經(jīng)的模擬考真題，也是個經(jīng)典的例題。

　　以三個例題，講解了“零點個數(shù)”這個專題的內(nèi)容。

　　零點個數(shù)，畫圖像，找交點。這個道理并不是很難理解，但是能夠熟練運用，還需要同學(xué)們多多練習(xí)。一方面要非常熟悉前面提到的八類常見函數(shù)的圖像和特征，另一方面對于分離參數(shù)或者式子的恒等變換，要具有一定的想象力。需要在平時的作業(yè)及練習(xí)題中，不斷的積累。