第5招：按圖索驥 - 數(shù)形結(jié)合解零點(diǎn)問題

零點(diǎn)的定義:一般地,對于函數(shù),我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn).

函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系:

例如:設(shè)函數(shù)為,則的零點(diǎn)即為滿足方程的根,若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?/span>,即方程的根在坐標(biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo),其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到.

由此看來,函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn),且能相互轉(zhuǎn)化,在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化.

(3)兩函數(shù)的交點(diǎn):

工具:數(shù)形結(jié)合

作用:前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形,而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn),是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征,是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(即零點(diǎn),根的個(gè)數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍。

缺點(diǎn):數(shù)形結(jié)合能否解題,一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)(故當(dāng)方程含參時(shí),通常進(jìn)行參變分離,其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像,那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線,所以便于觀察),另一方面取決于作圖的精確度,所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧,以及作圖時(shí)速度與精度的平衡.

在高中階段主要考察三個(gè)方面:(1)零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理,(2)二次方程根分布問題,(3)數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第(3)個(gè)類型常要用到函數(shù)零點(diǎn),方程,與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,請通過例題體會(huì)如何利用方程構(gòu)造出函數(shù),進(jìn)而通過圖像解決問題的.

(2018·天津卷理科14)已知,函數(shù).若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是_________.

【答案】見解析

【解析】當(dāng)時(shí),由得,得,得,得,設(shè),則,由得,此時(shí)遞增,由得,此時(shí)遞減,即當(dāng)時(shí),取得極小值為;

當(dāng)時(shí),由,得,得,當(dāng)時(shí),方程不成立;當(dāng)時(shí),;設(shè),則;由,此時(shí)遞增,由

或,此時(shí)遞減,即當(dāng)時(shí),取極小值為,要使恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,由圖象知,故答案為:

1.(原創(chuàng))設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________

2.(原創(chuàng))已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.4

B.6

C.8

D.10

3.已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,其中,若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A.

B.

C.

D.