最近在學(xué)習(xí)運(yùn)算定律相關(guān)內(nèi)容，我們需要知道，在“數(shù)與運(yùn)算”主題，其大觀念有計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律和等式的基本性質(zhì)。如果沒有運(yùn)算律和等式的基本性質(zhì)，就沒有辦法進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，甚至代數(shù)式的運(yùn)算。

運(yùn)算律一般安排在四年級，但教師往往誤認(rèn)為“運(yùn)算律”只為“簡便運(yùn)算”而來，往往忽視了“運(yùn)算律”是所有運(yùn)算算理的基礎(chǔ)，致使學(xué)生缺少了對“運(yùn)算律”應(yīng)有的感悟、體驗(yàn)和理解。

我們要認(rèn)識到“運(yùn)算律”是“數(shù)與運(yùn)算”主題教學(xué)的核心要素，它也是未來學(xué)習(xí)代數(shù)推理的重要基礎(chǔ)。教師要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從“運(yùn)算律”的角度理解運(yùn)算道理，習(xí)得運(yùn)算方法，學(xué)會數(shù)學(xué)推理。

其實(shí)，“運(yùn)算律”在正式與學(xué)生見面前就已經(jīng)出現(xiàn)了。一年級學(xué)生就已經(jīng)在計(jì)算3+4=7和4+3=7時，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)3+4的結(jié)果和4+3的結(jié)果一樣；二年級在學(xué)習(xí)乘法意義和乘法口訣后，知道一句乘法口訣就寫出兩個算式，發(fā)現(xiàn)3×8和8×3的結(jié)果是一樣的，其實(shí)已經(jīng)不自覺地使用交換律了。

三年級在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”計(jì)算時，也用到了“乘法分配律”。在計(jì)算14×12時，其實(shí)就是算14×2=28，14×10=140，28+140=168。學(xué)生只是不知道“乘法分配律”，但已經(jīng)不自覺地應(yīng)用了。這些運(yùn)算之所以能獲得正確的結(jié)果，全部源于“運(yùn)算律”的“護(hù)法”。“乘法分配律”保證了乘法結(jié)果的正確性和唯一性。

同理，加法計(jì)算也依賴于“交換律、結(jié)合律”，在運(yùn)算律的“保護(hù)”下才獲得了唯一正確的結(jié)果。運(yùn)算方法是由“運(yùn)算律”決定的，沒有“交換律、結(jié)合律”就沒有加法運(yùn)算，沒有“乘法分配律”就沒有兩位數(shù)以上的乘法運(yùn)算。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在學(xué)業(yè)要求中明確提出“能說出運(yùn)算律的含義，并能用字母表示；能運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，解決簡單的實(shí)際問題，形成運(yùn)算能力?！边@里，學(xué)生可以自主進(jìn)行整理這些運(yùn)算定律，并用字母表示。

除此之外，還要關(guān)注運(yùn)算律的本質(zhì)是什么。運(yùn)算律的“源”在于加法和乘法的意義。因?yàn)檫\(yùn)算律是確定算理和算法的重要依據(jù)。以交換律為例，為什么可以交換，本質(zhì)上就是“數(shù)數(shù)”，也就是加法意義的延伸。乘法分配律其本質(zhì)也可以用乘法的意義加以解釋。

雖然五大運(yùn)算定律的意義、表述、字母公式和實(shí)際運(yùn)用等都不相同，但都是圍繞數(shù)據(jù)位置、運(yùn)算順序或運(yùn)算類型的變化進(jìn)行區(qū)別和定義的。它們也有共同點(diǎn)，就是不管外形如何變換，算式的結(jié)果始終是不變的。比如，加法交換律是位置變而運(yùn)算結(jié)果不變；加法結(jié)合律，是數(shù)據(jù)位置和結(jié)果都不變，但運(yùn)算順序變。

運(yùn)算定律的教學(xué)一般都要經(jīng)歷合情推理的一般步驟，這里還要注重演繹推理的滲透。因?yàn)檫\(yùn)算律的教學(xué)在小學(xué)階段一般以歸納推理的方式，經(jīng)歷不完全歸納的過程。

除了舉例驗(yàn)證外，其實(shí)還可以借助模型直觀來解釋；在學(xué)習(xí)完某一運(yùn)算定律后，激發(fā)學(xué)生的類比推理意識（或類似的規(guī)律），進(jìn)而進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證。最后，嘗試進(jìn)行演繹推理。

比如，通過這些直觀圖形，幫助學(xué)生理解不同的運(yùn)算律。

加法交換律，a+b=b+a。

加法結(jié)合律，（a+b)+c=a+(b+c)。

乘法分配律，（a+b)×c=a×c+b×c。

這五個運(yùn)算定律，其中最難的是乘法分配律。乘法分配律全稱應(yīng)該是乘法對加法的分配律，也是含有兩級運(yùn)算的一個運(yùn)算律。

理解乘法分配律，除了有生活模型、幾何直觀、乘法意義的方法之外，還可以用演繹推理的方式幫助學(xué)生去思考，啟發(fā)學(xué)生從左邊推出右邊，從右邊推出左邊。

以（3+2）×5=3×5+2×5為例，可以從左邊進(jìn)行推理等于右邊。

（3+2）×5

=（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）（乘法意義）

=（3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2）（加法交換律、結(jié)合律）

=3×5+2×5（乘法意義）

當(dāng)然，也可以從右邊推出左邊：

3×5+2×5

=（3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2）（乘法意義）

=（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）（加法交換律、結(jié)合律）

=（3+2）×5（乘法意義）

這里利用了乘法的意義，乘法交換律，乘法交換律進(jìn)行演繹推理?？梢?，在教學(xué)中，不要忽視基本概念、基本原理。

如果給出用字母表示數(shù)的一般化證明，它其實(shí)和上面的道理是類似的：

（a+b)×c=

（a+b)+（a+b)+……+（a+b)（一共c組）

=（a+a+……+a）+（b+b+……+b）（c個a，c個b）

=a×c+b×c

可見，引導(dǎo)高年級學(xué)生從左邊推出右邊，還是可以進(jìn)行推理訓(xùn)練的。另外，在學(xué)習(xí)運(yùn)算定律后，要前后關(guān)聯(lián)，再次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些運(yùn)算定律其實(shí)早就“見過”，用新的數(shù)學(xué)眼光重新認(rèn)識。這也說明，學(xué)生需要積累大量的經(jīng)驗(yàn)，才能更好地理解運(yùn)算律其價(jià)值。