在八年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，等腰三角形和等邊三角形是幾何部分的重要內(nèi)容。在解決與它們相關(guān)的幾何問題時(shí)，添加合適的輔助線往往是關(guān)鍵的解題步驟。下面就為大家詳細(xì)介紹幾種等腰、等邊三角形常用的輔助線添加方法。

作底邊上的高（三線合一法）

等腰三角形具有“三線合一”的重要性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合。當(dāng)題目中出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，我們常常作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)來創(chuàng)造更多的條件。

例題

已知等腰△ABC 中，AB = AC，AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D。求證：BD = DC，AD⊥BC。

輔助線作法

連接 AD，因?yàn)?AB = AC，∠BAD = ∠CAD，根據(jù)“三線合一”，AD 既是頂角∠BAC 的平分線，又是底邊 BC 上的中線和高。所以可以直接得出 BD = DC，AD⊥BC。

作用

通過作底邊上的高，將等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形，從而可以利用直角三角形的性質(zhì)來解題，比如勾股定理等。同時(shí)，“三線合一”的性質(zhì)能讓我們快速得到線段相等、角相等以及垂直關(guān)系等重要信息。

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截長補(bǔ)短法

截長法

在較長的線段上截取一段與某一較短的線段相等，然后證明剩下的線段與另一段較短的線段相等。這種方法常用于證明線段之間的和差關(guān)系。

例題

已知在△ABC 中，AB = AC，∠A = 108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于點(diǎn) D。求證：BC = AB + CD。

輔助線作法

在 BC 上截取 BE = BA，連接 DE。因?yàn)?BD 平分∠ABC，所以∠ABD = ∠EBD。又因?yàn)?BA = BE，BD = BD，根據(jù)“邊角邊”（SAS）定理可得△ABD≌△EBD。所以∠BED = ∠A = 108°，則∠DEC = 180° - 108° = 72°。因?yàn)?AB = AC，∠A = 108°，所以∠C = (180° - 108°)÷2 = 36°，那么∠EDC = 180° - 72° - 36° = 72°，所以∠DEC = ∠EDC，故 CD = CE。所以 BC = BE + CE = AB + CD。

補(bǔ)短法

延長較短線段中的一條，使其和較長線段相等，然后證明延長部分與另一條較短線段相等。

例題

在等邊△ABC 中，點(diǎn) D 在 BC 的延長線上，CE 平分∠ACD，且 CE = BD。求證：△ADE 是等邊三角形。

輔助線作法

延長 BD 到點(diǎn) F，使 DF = AB，連接 EF。因?yàn)椤鰽BC 是等邊三角形，所以 AB = BC = AC，∠B = ∠ACB = 60°。又因?yàn)?CE 平分∠ACD，所以∠ACE = ∠ECD = 60°。因?yàn)?BD = CE，DF = AB = BC，所以 BF = BD + DF = CE + BC = CE + AC。又因?yàn)椤螧 = ∠ECD = 60°，可以證明△ABF≌△EFC（SAS），進(jìn)而得到 AE = DE，∠AED = 60°，所以△ADE 是等邊三角形。

作用

截長補(bǔ)短法可以將分散的線段集中到一起，便于我們利用全等三角形等知識(shí)來證明線段之間的數(shù)量關(guān)系。

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倍長中線法

當(dāng)題目中出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，我們可以將中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，從而將已知條件和所求問題聯(lián)系起來。

例題

已知在△ABC 中，AB = AC，D 為 BC 中點(diǎn)，E 為 AC 上一點(diǎn)，連接 BE 交 AD 于點(diǎn) F，且 AE = EF。求證：BF = AC。

輔助線作法

延長 AD 到點(diǎn) G，使 DG = AD，連接 BG。因?yàn)?D 為 BC 中點(diǎn)，所以 BD = DC。又因?yàn)椤螧DG = ∠CDA，AD = DG，根據(jù)“邊角邊”（SAS）定理可得△BDG≌△CDA。所以 BG = AC，∠G = ∠CAD。因?yàn)?AE = EF，所以∠EAF = ∠EFA。又因?yàn)椤螮FA = ∠BFG，所以∠BFG = ∠G，所以 BF = BG，故 BF = AC。

作用

倍長中線法可以將三角形的一邊平移到另一邊，構(gòu)造出全等三角形，從而將已知條件和未知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，方便我們解題。

旋轉(zhuǎn)法

在等腰、等邊三角形中，我們可以利用圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，將三角形繞著某個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，構(gòu)造出全等三角形。

例題

已知在等邊△ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P，PA = 3，PB = 4，PC = 5。求∠APB 的度數(shù)。

輔助線作法

將△APB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到△CP’B，連接 PP’。因?yàn)樾D(zhuǎn) 60°，且 BP = BP’，所以△BPP’是等邊三角形，則 PP’ = PB = 4，∠BPP’ = 60°。又因?yàn)?P’C = PA = 3，PC = 5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠PP’C = 90°。所以∠APB = ∠CP’B = ∠BPP’ + ∠PP’C = 60° + 90° = 150°。

作用

旋轉(zhuǎn)法可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，將分散的條件集中到一起，便于我們利用特殊三角形的性質(zhì)來解題。

總之，在解決等腰、等邊三角形相關(guān)的幾何問題時(shí)，我們要根據(jù)題目所給的條件，靈活運(yùn)用這些輔助線添加方法，從而找到解題的思路。希望同學(xué)們通過不斷的練習(xí)，能夠熟練掌握這些方法，提高自己解決幾何問題的能力。