例題1

如圖，AB=AC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∠CDB＝30°．求證：

分析：

從條件和圖形入手，我們看到“手拉手”模型，得到△ABD≌△CBE，從結(jié)論入手，我們需要構(gòu)造直角三角形。結(jié)合題目中給出的30°、60°，我想很多同學(xué)就應(yīng)該清楚如何構(gòu)造直角三角形了，只需要將30°、60°放入一個三角形中就行了。

解答：

我們來看一個變式：

如圖，四邊形ABCD中，連接AC，BD，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，并且AD=3,BD=5,求CD的長。

分析：

這個題從圖形的角度是看不出什么解決方案，根本原因在于圖形隱藏了手拉手的另一半，結(jié)合上一道題，你能發(fā)現(xiàn)它的解決方案嗎？

BC＝AC可以作為全等三角形的一組對應(yīng)邊出現(xiàn)，所以我們應(yīng)該在頂點C處構(gòu)造一個三角形和△BCD全等。

解答：

反思：

綜合看前面兩個例題，第二題很明顯是第一題的一個變式，第一題有明顯的兩個等邊三角形，而第二題圖形上只有一個等邊三角形，隱藏了另一個等邊三角形。我們在做題的過程中如果能發(fā)現(xiàn)出題者刻意隱藏的圖形，就能快速地解決問題。

我們還可以做如下變式：

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，BD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°，試求CD的長.

分析：

上一題的構(gòu)造利用了等邊三角形一組相等的邊為對應(yīng)邊，這個圖形中有AC=AB也可以作為一組對應(yīng)邊出現(xiàn)，所以我們應(yīng)該在直角頂點A處構(gòu)造一個手拉手，得到△ACD≌△BAE，從而在圖中構(gòu)造出一個直角三角形BDE求解就行了。

解答：

例題：

如圖，正方形ABCD的邊長為２，E為BA延長線上一點，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，求AF的最小值．

分析：

這道題在班級講解的時候，很多學(xué)生說：“老師，這就是上次你講的定斜邊求最值啊，很簡單的?！弊屑?xì)分析我們可以發(fā)現(xiàn)這道題根本不是定斜邊的直角三角形，因為DE的長此時不是一個定值。排除了這種做法后還可以朝什么角度去思考呢？我們知道最小值除了構(gòu)造三角形兩邊之差大于第三邊（兩點之間線段最短）之外，其實還有一種情況，垂線段最短。我們可以試著尋找當(dāng)點E在BA上運動時，點F是否在一條直線上，或者將定點A到動點F的長度轉(zhuǎn)化為另一個定點到動點E的長度來思考。這樣考慮我們就有可能想到構(gòu)造“手拉手”利用全等將線段AF進(jìn)行轉(zhuǎn)化了。

解答：

反思：

（1）為什么要連接AG？其實可以不連接AG。連接AG的目的是方便大家看出等邊△ADG，這樣我們可以發(fā)現(xiàn)此時的“手拉手”就是在點D處共點的兩個等邊三角形；

（2）為什么在點D處構(gòu)造“手拉手”，而不在點E、點F處構(gòu)造？其實在點E、點F處構(gòu)造也能做，如下面三幅圖所示。但因為點E、F是動點，點D是一個固定點，構(gòu)造應(yīng)該盡量在固定點構(gòu)造，不要在動點構(gòu)造，這樣圖形容易確定。（下面的三種做法怎樣解釋大家自己思考一下）

例題：

如圖，點 C 為線段 AB 的中點，E 為直線 AB 上方的一點，且滿足 CE=CB，連接 AE，以 AE 為腰，A 為頂角頂點作等腰 Rt△ADE，連接 CD，當(dāng) CD 最大時，求∠DEC 的度數(shù)。

分析：

我們首先要找到CD最大的位置，才能去考慮求∠DEC的度數(shù)。那么CD什么時候最大呢？假設(shè)AC＝CE＝BC＝１，我們首先試著求出CD的最大值。如下圖所示，考慮△ADE是等腰直角三角形，我們可以構(gòu)造△ADF≌△ACE，這樣可以發(fā)現(xiàn)CD的最大值為。我們準(zhǔn)確畫圖如下第二幅圖來求解。

解答：