【原】定義、性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系

羅輯思考 2025-11-08 發(fā)布于重慶

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在初中數(shù)學(xué)中，“定義”“性質(zhì)”“判定” 是三個(gè)緊密關(guān)聯(lián)但又不同的概念。

在學(xué)習(xí)平面幾何階段會(huì)頻繁出現(xiàn)這幾個(gè)詞，有部分學(xué)生對(duì)性質(zhì)與判定總是分不清楚。今天借助這篇文章詳細(xì)講解一下這三個(gè)詞的區(qū)別與聯(lián)系。

定義：是對(duì)一個(gè)圖形或概念的 “身份界定”，回答 “什么是它”，通常是判斷一個(gè)對(duì)象是否屬于該類(lèi)別的最基本依據(jù)。

性質(zhì)：是這個(gè)圖形 “天生自帶” 的特征，回答 “它有什么特點(diǎn)”，即滿足定義后必然具備的屬性。

判定：是判斷一個(gè)對(duì)象是否屬于該類(lèi)別的 “依據(jù)”，回答 “怎樣才能確定它是”，通常是利用其特征反推它符合定義。

下面分別以角的平分線、線段的垂直平分線、等腰三角形為例，展開(kāi)講解它們的定義、性質(zhì)與判定。

01、角的平分線

定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線（明確 “什么是角平分線”，核心是 “分角為兩個(gè)相等的角”）。

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等（只要在角的平分線上，就一定滿足 “到兩邊距離相等”）。

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊距離相等，就能確定它在角平分線上，反推符合定義）。

02、線段的垂直平分線

定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（明確 “什么是垂直平分線”，核心是 “過(guò)中點(diǎn)且垂直”）。

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（只要在垂直平分線上，就一定滿足 “到兩端點(diǎn)距離相等”）。

判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（如果一個(gè)點(diǎn)到兩端點(diǎn)距離相等，就能確定它在垂直平分線上，反推符合定義）。

03、等腰三角形

定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（明確 “什么是等腰三角形”，核心是 “兩邊相等”）。

性質(zhì)：

(1)等邊對(duì)等角（因?yàn)?“兩邊相等”，所以必然 “對(duì)角相等”）；

(2)三線合一（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，這是 “兩邊相等” 帶來(lái)的必然結(jié)果）。

判定：

(1)等角對(duì)等邊（如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它必然是等腰三角形，即通過(guò) “角相等” 反推 “邊相等”，符合定義）。

(2)兩線合一必有等腰。（這個(gè)判定方法課本上并沒(méi)有直接給出，其實(shí)是可以證明的?？梢曰乜匆郧暗奈覍?xiě)的這篇文章兩線合一必有等腰，了解證明過(guò)程。）

定義是 “起點(diǎn)”，明確對(duì)象的本質(zhì)；

性質(zhì)是 “從定義出發(fā)能得到什么”，是對(duì)象的固有特征；

判定是 “滿足什么條件就能確定是這個(gè)對(duì)象”，是定義的逆向應(yīng)用。

定義回答 “是什么”，性質(zhì)回答 “有什么”，判定回答 “怎么認(rèn)”。

我們的學(xué)習(xí)的一般路徑是，先掌握一個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義，然后從定義出發(fā)，推出它的性質(zhì)，接著把性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論互換，也就是性質(zhì)的逆命題，如果逆命題通過(guò)證明是真命題，就可以把這個(gè)逆命題作為判定使用。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，定義、性質(zhì)和判定三者相互關(guān)聯(lián)，它們共同構(gòu)成對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的完整描述。