平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總(一) 知識(shí)點(diǎn)一 相交線和平行線

    1.定理與性質(zhì)

    對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等。

    2.垂線的性質(zhì):

    性質(zhì)1:過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

    性質(zhì)2:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。 3.平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。 平行公理的推論:如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 4.平行線的性質(zhì):

    性質(zhì)1:兩直線平行，同位角相等。

    性質(zhì)2:兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

    性質(zhì)3:兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

    5.平行線的判定:

    判定1:同位角相等，兩直線平行。

    判定2:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

    判定3:同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。

知識(shí)點(diǎn)二 三角形

    一、三角形相關(guān)概念

    1(三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形 要點(diǎn):?三條線段;?不在同一直線上;?首尾順次相接( 2(三角形中的三種重要線段

    (1)三角形的角平分線:三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線(

    (2)三角形的中線:在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線(

    (3)三角形的高線:從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡稱三角形的高(

    1平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總(一)

二、三角形三邊關(guān)系定理

    三角形兩邊之和大于第三邊，故同時(shí)滿足?ABC三邊長a、b、c的不等式有:a+b>c，b+c>a，c+a>b(

    三角形兩邊之差小于第三邊，故同時(shí)滿足?ABC三邊長a、b、c的不等式有:a>b-c，b>a-c，c>b-a(

    注意:判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于第三條線段即可

    三、三角形的穩(wěn)定性

     三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性(例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理(

    四、三角形的內(nèi)角

    結(jié)論1:三角形的內(nèi)角和為180(表示: 在?ABC中，?A+B+C=180 結(jié)論2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余(

    注意:?在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角

    如:在?ABC中，?C=180,(?A+B)

    在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角(

    如:?ABC中，已知?A:?B:?C=2:3:4，求?A、?B、?C的度數(shù)( 五、三角形的外角

    1(意義:三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角( 2(性質(zhì):

    三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

    三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

    三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)

    六、多邊形

    n(n,3)多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線;?n邊形的內(nèi)角和為(n,2)×180;?多邊形的外2

    角和為360

2平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總(一)

知識(shí)點(diǎn)三 全等三角形

    一、全等三角形

    、“全等”的理解 全等的圖形必須滿足:(1)形狀相同的圖形;(2)大小相等的圖形; 1

    即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全

    等三角形。

    2、全等三角形的性質(zhì)

    (1)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等;(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等;

    、全等三角形的判定方法 3

    (1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SSS)

    (2)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)

    (3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)

    (4)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)

    (5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL) 4、角平分線的性質(zhì)及判定

    性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

    判定:到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上 二、軸對(duì)稱圖形

    (一)基本定義

    1.軸對(duì)稱圖形

    如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，

    這條直線就叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn). 2.線段的垂直平分線

    經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線 3.軸對(duì)稱變換

    由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換. 4.等腰三角形

    有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰

    所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

    5.等邊三角形

    三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

    3平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總(一)

(二)性質(zhì)

    1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.或者說軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 2.線段垂直平分錢的性質(zhì)

    線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

    3.(1)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x，-y). (2)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P″(-x，y). 等腰三角形的性質(zhì) 4.

    (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱“等邊對(duì)等角”).

    )等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合. (2

    (3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對(duì)稱軸.

    (4)等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等. (5)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。

    (6)等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個(gè)三角形的底邊. 5.等邊三角形的性質(zhì)

    (1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60. (2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有三條對(duì)稱軸.

    (3)等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對(duì)內(nèi)角的平分線互相重合. (三)有關(guān)判定

    1.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上. 2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡寫成“等角對(duì)等邊”). 3.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

    4.有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)四 勾股定理

    1、勾股定理定義:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

    222a，b,c. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

    勾:直角三角形較短的直角邊

    4平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總(一)

    股:直角三角形較長的直角邊

    弦:斜邊

    ba勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)DCac222Hb系:a，b,c，那么這個(gè)三角形是直c

    EGc角三角形。 Fbcaab222ba2. 勾股數(shù):滿足a，b,c的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意:若cBA

    Aaa，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾D

    股數(shù)組。) bc

     *附:常見勾股數(shù):3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 Ec222 a3. 判斷直角三角形:如果三角形的三邊長a、b、c滿足a+b=c，

    BCb那么這個(gè)三角形是直角三角形。(經(jīng)典直角三

    角形:勾三、股四、弦五)

     其他方法:(1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。

     (2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是:

    (1)確定最大邊(不妨設(shè)為c);

    222(2)若c,a，b，則?ABC是以?C為直角的三角形;

    222若a，b,c，則此三角形為鈍角三角形(其中c為最大邊);

    222若a，b,c，則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊) 4.注意:(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

    (2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的

    一半。

    (3)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等

    于30。

    5. 勾股定理的作用:

     (1)已知直角三角形的兩邊求第三邊。

     (2)已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。

    (3)用于證明線段平方關(guān)系的問題。

    (4)利用勾股定理，作出長為的線段 n

    6.勾股定理的證明

     勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

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