【原】簡(jiǎn)諧振動(dòng)

cosmos2062 2025-09-15 發(fā)布于廣東

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利用彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程引入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念。

我們已經(jīng)對(duì)物體的一般運(yùn)動(dòng)形式，以及物體運(yùn)動(dòng)遵守的基本規(guī)律做了詳盡的討論。接下來(lái)，我們將把這些知識(shí)應(yīng)用到一種特殊的運(yùn)動(dòng)形式上，討論物體的振動(dòng)以及由振動(dòng)引發(fā)的一系列自然現(xiàn)象。

振動(dòng)是大自然中最常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式。當(dāng)物體在某個(gè)確定的平衡位置附近作周期性的運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱(chēng)這種形式的運(yùn)動(dòng)為機(jī)械振動(dòng)。常見(jiàn)的機(jī)械振動(dòng)有如鐘擺的擺動(dòng)、水面的起伏和樹(shù)葉的搖晃等，現(xiàn)代物理學(xué)還常常討論固體內(nèi)部原子或分子在其平衡位置附近的振動(dòng)。就廣義而言，當(dāng)一個(gè)物理量在某個(gè)確定的平衡值附近作周期性的變化時(shí)，也稱(chēng)這個(gè)物理量在振動(dòng)。比如說(shuō)交流電的電流值和電壓值的變化，動(dòng)物體內(nèi)生理節(jié)奏的變化等。

研究表明，盡管各種物理現(xiàn)象的具體發(fā)生機(jī)制不相同，運(yùn)動(dòng)和變化的表現(xiàn)形式也不一樣，但是，只要所涉及的物理量在振動(dòng)，它們就具有共同的物理特征和數(shù)學(xué)形式。在所有的振動(dòng)形式中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以被分解成若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。因此，我們只對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)做簡(jiǎn)單的討論。

讓我們從實(shí)際的例子出發(fā)，利用力學(xué)中已經(jīng)掌握的知識(shí)，建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，并求解這些動(dòng)力學(xué)方程，得到振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，以此看一看簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量隨時(shí)間的變化滿(mǎn)足怎樣的數(shù)學(xué)形式。

先來(lái)看一個(gè)最簡(jiǎn)單的實(shí)例：一個(gè)被放置在光滑的水平桌面上的彈簧振子，我們分析它的運(yùn)動(dòng)特征。假定彈簧的質(zhì)量可以忽略，勁度系數(shù)是 $k$ ，一端固定不動(dòng)，另一端系著一個(gè)質(zhì)量為 $m$ 的物體，整個(gè)裝置被放在光滑的水平桌面上，如上左圖所示。當(dāng)物體沿著彈簧的延伸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，選取彈簧的平衡位置 (彈簧自然伸展時(shí)，其末端所處的位置) 為 $x$ 軸的零點(diǎn)、背離固定點(diǎn)的方向?yàn)?/span> $x$ 軸的正方向，則它將受到彈簧施加的彈性恢復(fù)力 $f=-kx$ ，如上右圖所示。由于物體被放在光滑的桌面上，因此，可以忽略阻力因素。于是，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可以寫(xiě)出彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程： $\begin{equation}\notag m\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}=-kx \end{equation}$ 為了書(shū)寫(xiě)上簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令 $\begin{equation}\notag \omega^2=\frac{k}{m} \end{equation}$ 就可以將這個(gè)水平運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程：

$\begin{equation}\tag 1 \frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}+\omega^2x=0 \end{equation}$

于是，我們將水平放置的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)抽象成了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解上述微分方程，就可以得到這個(gè)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方式。

再來(lái)看一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的例子。將一根勁度系數(shù)為 $k$ 的彈簧懸掛在天花板上，假定彈簧的質(zhì)量可以忽略，彈簧的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為 $m$ 的物體，整個(gè)裝置自由懸吊在空中。選取沿豎直方向向下為 $y$ 軸的正方向、彈簧與物體組成的系統(tǒng)自然下垂的平衡位置為 $y$ 軸的零點(diǎn)，假定當(dāng)物體處于平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為 $\Delta l$ ，如上左圖所示。

簡(jiǎn)單的分析不難得出，無(wú)論物體處于哪個(gè)位置，彈簧的伸長(zhǎng)量都是 $y+\Delta l$ ，如上右圖所示。讓這個(gè)彈簧振子在豎直方向運(yùn)動(dòng)，則它受到的彈性恢復(fù)力 $\begin{equation}\notag f=-k(y+\Delta l) \end{equation}$ 另一方面，運(yùn)動(dòng)的物體還同時(shí)受到重力的作用，因此，如果忽略一切阻力因素，彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的合力就是 $\begin{equation}\notag f=-k(y+\Delta l)+mg \end{equation}$ 當(dāng)系統(tǒng)處于平衡位置時(shí) $\begin{equation}\notag f=-k\Delta l+mg=0 \end{equation}$ 于是，系統(tǒng)受到的合力 $f=-ky$ 。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程 $\begin{equation}\notag m\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2}=-ky \end{equation}$ 由此可見(jiàn)，在豎直方向運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程與水平運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程相同，唯一的差別是反映運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量不一樣。于是，由這個(gè)運(yùn)動(dòng)抽象出來(lái)的微分方程具有如下形式：

$\begin{equation}\tag 2 \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2}+\omega^2y=0 \end{equation}$

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)垂直懸吊的彈簧振子在豎直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，抽象出來(lái)的微分方程與水平放置的彈簧振子沿彈簧擺放的方向運(yùn)動(dòng)所滿(mǎn)足的微分方程一模一樣。

如果描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)的變量滿(mǎn)足形如 (1) 式或者 (2) 式形式的微分方程，就把這個(gè)運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

在大自然中，有許多物理量隨時(shí)間的變化方式滿(mǎn)足簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，它們的變化都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。通常將按照簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律變化的物理量稱(chēng)為諧振子。實(shí)際上，任何一個(gè)只是稍微偏離平衡狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)都可以被看作諧振子。像質(zhì)點(diǎn) (粒子) 模型一樣，諧振子是一個(gè)理想化的模型，在現(xiàn)實(shí)中并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)物。但是，對(duì)于物理學(xué)中的許多問(wèn)題，諧振子模型是相當(dāng)好的近似。