簡(jiǎn)諧振動(dòng)在物理學(xué)中是非常重要的，有些人甚至說物理學(xué)家只研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)（勻速直線運(yùn)動(dòng)太簡(jiǎn)單了，不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)又太難了），同一系列的推導(dǎo)會(huì)在后續(xù)的學(xué)習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)，比如學(xué)量子力學(xué)的時(shí)候還會(huì)推一編（簡(jiǎn)諧振子的量子化），學(xué)固體物理的時(shí)候還會(huì)推一編（聲子），學(xué)量子場(chǎng)論的時(shí)候還會(huì)推一編（電磁場(chǎng)的量子化）……

現(xiàn)在我們?cè)诟咧形锢恚ㄅｎD力學(xué)）的知識(shí)背景下進(jìn)行推導(dǎo)。

假設(shè)有一根彈簧，彈簧的彈性系數(shù)是k，彈簧的一端是質(zhì)量為m的滑塊，假設(shè)彈簧和滑塊是水平放在桌面上的（忽略摩擦），這樣我們就不需要考慮滑塊本身重量對(duì)彈簧的拉長(zhǎng)了。

滑塊在彈性回復(fù)力的作用下將在平衡位置附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)我們不對(duì)滑塊施以任何力，此時(shí)滑塊會(huì)位于一個(gè)“平衡”位置不動(dòng)，我們假設(shè)這個(gè)位置是0，即坐標(biāo)的原點(diǎn)。

現(xiàn)在假設(shè)我們水平地向右拉動(dòng)滑塊到x位置，彈簧被拉長(zhǎng)了x，彈簧的彈性力是-kx，負(fù)號(hào)表示彈力和x的方向正好相反。

根據(jù)牛頓第二定律，此時(shí)滑塊的運(yùn)動(dòng)由這個(gè)方程描述：F=ma，即：

在上式中我們已經(jīng)把滑塊的運(yùn)動(dòng)表示成了一個(gè)“二階常微分方程”，二階常微分方程的求解需要知道兩個(gè)初始條件，在這里我們可以假設(shè)t=0時(shí)，滑塊的位置是a，滑塊的速度是0。

我們把上面的二階常微分方程寫成更好看的樣子：

我們一般把k/m改寫為：

“x上面有兩點(diǎn)”，表示的是x對(duì)時(shí)間t求兩次導(dǎo)數(shù)：

我們要求的就是x(t)，即位置x隨時(shí)間t變化的規(guī)律。

現(xiàn)在考慮試探解：

這里A和φ是兩個(gè)待定系數(shù)。

x對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)：

繼續(xù)再求一次導(dǎo)數(shù)：

我們發(fā)現(xiàn)這樣的x(t)就是我們要找的解，而且是個(gè)通解，因?yàn)槔锩嬗袃蓚€(gè)待定系數(shù)，正好可以用初始位置x(0)和初始速度v(0)來確定。

針對(duì)我們這里的初始條件，x(0)=a，v(0)=0，我們得到的解是：