題目

題目非常簡單，如下所示，求角B。：

編者不常解題，自然沒法秒解，想了一會兒才找到答案，并且列舉了一些常規(guī)的思路。

從所提供的幾種思路來看，第一種方法確實很直接，可以實現(xiàn)秒解，后面的思路黯然失色，基本上有“為賦新詞強說愁”的感覺。

不過，權且拿來當作思維鍛煉也未嘗不可。

解題思路一

如圖，過B點做AC的垂線，垂足為F，連接DF。

很明顯，CD=2。

因此，三角形CDF是等腰三角形。

所以：

由于：

所以，三角形AFD也是等腰三角形，所以，AF=DF。

同時，由于：

所以，三角形BFD也是等腰三角形，所以，BF=DF=AF。

所以，三角形AFB也是等腰三角形，所以：

所以：

此種方法最巧妙，基本上可以秒解。

解題思路二

如圖所示，過B點作AD的垂線于F點，過A點作BD的垂線于E點，連接AE和BF。

由于：

也就是：

從而可得：

所以：

同時，

根據(jù)三角形面積關系，有：

所以，

所以：

所以，∠ABF=30°。

所以，∠ABC=30°+45°=75°。

解題思路三

如圖，過A點做邊BC的垂線，垂足為E點，同時，做B點關于直線AE的對稱點F，連接AF。

依題意，有：

也就是：

從而可得：

因此：

注意到：

根據(jù)角平分線的基本性質(zhì)，可以確認AF為∠EAC的平分線。

所以：

所以，∠B的值為75°。

解題思路四

過A點作BD的垂線于點E，過C點作AD的垂線于G，連接AE和CG。

仔細觀察，我們可猜測直角三角形ABE和直角三角形ACG相似。

在三角形ACD中，根據(jù)正弦定理（正弦余弦是高中的知識吧，三角函數(shù)的方法就不再列了。），有：

其實15°為特殊角，我們也可以用其值替代，如果不知道其值，將其當作一個常量也行。

因此，

由于CG=DG,DE=AE，

所以，

所以：

同理，我們可知道：

如果要確定直角三角形ABE和直角三角形ACG相似，我們需要證明：

由于：

同時，

因此，

由于：

所以，所求角B為75°。

解題思路五

當然了，也可以不用三角函數(shù)來做。

借助于思路二中面積相等的方式，

我們可以求出：

從而，可以知道：

同理，可以確定：

從而：

由于：

同時：

因此：

從而確定直角三角形ABE和直角三角形ACG相似。

解題思路六

過A點作BD的垂線于點E，連接AE。

根據(jù)思路二里的三角形面積關系。

我們可以計算出：

由于BE<CE，因此角B大于60°。

我們在AC上取點M，使CM=CB，因此，三角形BCM為等邊三角形。

在直角三角形AEC中，根據(jù)勾股定理，我們可以計算出斜邊：

所以：

由于：

因此：

所以：

所以：

所以，所求角B為75°。