如圖：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為AC的中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，連接D、F，求證∠ADB=∠CDF。

解析：

1.先分析要求證明的結論。

從本題要求證明的結論看，要求證明相等的兩個角共用一個頂點，離得很近。不像一般的證明題，要求證明相等的角或者線段離得比較遠，所以會用到轉(zhuǎn)移線段的手段?，F(xiàn)在兩個角挨一起，且共用頂點。那么根據(jù)我們在初一學習的關于角的知識，如果過D作一條垂線，且能證明這條垂線能夠平分∠BDF，那么也就證明了題目要求的結論。

再結合D點是AC的中點這個已知條件，聯(lián)想到等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，我們過D點作垂線的必要性就進一步加強了。

另外，從D點你如果沒有聯(lián)想到等腰三角形的三線合一，而是想到了AD=CD，那你就應該想到可以方便地構造一對全等三角形，因為已有一對角一組邊相等了。

2.上面兩個思路的實施看起來都有實施的方便條件，因為△ABC是等腰直角三角形，可以有多組相等的線段。且AE⊥BD所構造出的射影模型，又構造出了多組相等的角。這些都是證明三角形全等的很方便的條件。

3.所以，以上兩個證明思路應該都可行。

證明思路一：過D點作垂

       從這個思路出發(fā)，并不是說真的需要作條垂線，這個思路的本質(zhì)是構造一個等腰三角形。有了等腰三角形，垂線自然就出來了。當我們知道我們需要一個等腰三角形時，應該就想起了等腰直角三角形的斜邊上的中線就是把這個等腰直角三角形分成了兩個小的等腰直角三角形的。所以，我們很自然地就想到要從A點引出BC邊上的中線（也是垂線、角平分線）。實際上，在一個等腰直角三角形中，作斜邊上的中線應該是一個習慣作法，你在任何題中，只要你碰到了一個等腰直角三角形都要想到作這條中線的必要性。

       過A作AH垂直于BC于H，交BD于G。

       則：AH=HC=HB

       連接H、D，則HD⊥AC。      

       （這時，如果能證明∠BDH=∠FDH就大功告成）

       要想證明∠BDH=∠FDH，優(yōu)先考慮的方案是證明△HGD≌HFD。

       現(xiàn)在考查一下證明這兩個三角形全等的條件夠不夠。

       HD是公共邊，肯定算一個S。

       HD平分∠AHC，又有了一個A。

       既然已經(jīng)有了一個S和一個A，那就優(yōu)先考慮證明HG=HF，因為這樣就有了SAS。

       要想證明HG=HF，意味著AG=CF。

       AG和CF相等嗎？

       這兩條線段隔得比較遠，應該是分別屬于兩個互相全等的三角形的。哪兩個三角形全等呢？

       等你執(zhí)行既定的思路遇到了困難時，常見的措施是求助于已知條件。我們還有一個已知條件沒有用呢：AE⊥AD。

       AE是從直角頂點向斜邊BD引出的垂線，這會構造一個射影模型。在射影模型中，易證：

       ∠EAD=∠ABD，∠ADB=∠BAE

       應該可以很容易看出，在△ABE和△ACF中，已經(jīng)有一對邊（AB=AC）一對角（∠EAD=∠ABD）相等了，還差一對角相等。

       因為AH平分∠BAC，所以∠BAG=∠ACF=45°。

       所以，△ABE≌△CAF

       所以，AG=CF

       因為，AH=CH，

       所以，GH=FH

       所以，△DGH≌△DFH

       所以，∠HDE=∠HDF

       因為，∠ADB=∠ADH-∠HDE，∠CDF=∠CDH-∠HDF

       而，∠ADH=∠CDH=90°

       所以，∠ADB=∠CDF

證明思路二：構造一個包含AD邊和∠ADB在內(nèi)的三角形和△CDF全等

       構造這個三角形的思路最應該來自于∠C=45°。

       它是△CDF的一個已知角，所以，我們在需要構造的三角形里，如果也能構造一個45角，就很接近證明全等了。顯然，還是過A引BC上的中線是最方便的構造45°角的手段。

       剩下的故事就和思路一差不多一摸一樣了，還是需要證明AG=CF。由同學們自己去完成吧？！

小結：

       作輔助線對很多同學是個難題，解決這個難題的最有效的思路就是先分析題目要求我們證明什么結論。從結論出發(fā)，我們往往可以發(fā)現(xiàn)證明的思路應該是什么，有多少個可能的思路。我們再結合題目給出的已知條件，就可大致判斷出哪一個思路是可行的。

       找到大致可行的思路就大膽開始實施，在實施過程中你就知道每一步的小目標是什么。為了證明這些小目標，你還得有思路，這些思路要實施，你就知道你要作什么輔助線了。做出哪一條輔助線，就可以最好最方便地利用已知條件來證明小目標，那我們就作出哪條輔助線。