伯努利隨機(jī)硬幣游戲可以幫助解決一些困難的代數(shù)問(wèn)題

洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院EPFL的數(shù)學(xué)家與普渡大學(xué)合作，解決了一個(gè)關(guān)于球面和4維空間的30年之久的問(wèn)題。這些結(jié)果為“歐拉類(lèi)”（歐拉示性類(lèi)的推廣）帶來(lái)了新的曙光，歐拉類(lèi)是理解復(fù)雜空間的最強(qiáng)大工具之一。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，“歐拉類(lèi)”是通過(guò)將復(fù)雜空間切割成更簡(jiǎn)單的部分來(lái)理解它們的最強(qiáng)大的工具之一。它以瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的名字命名，他是第一個(gè)考慮這個(gè)想法的人。

“就像DNA這樣復(fù)雜的東西最終是由簡(jiǎn)單的原子組成的一樣，這些簡(jiǎn)單的碎片是如何組裝的，其中包含重要信息而不是碎片本身，”領(lǐng)導(dǎo)EPFL遍歷理論和幾何群論研究部門(mén)的Nicolas Monod教授說(shuō)。他的團(tuán)隊(duì)與普渡大學(xué)的同事聯(lián)手解決了一個(gè)關(guān)于球面的老問(wèn)題。答案已經(jīng)發(fā)表在領(lǐng)先的數(shù)學(xué)期刊《Inventiones mathematicae數(shù)學(xué)發(fā)明》上。

論文作者之一：Nicolas Monod 洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院EPFL

論文作者之二： Sam Nariman 普渡大學(xué)

1958年，菲爾茲獎(jiǎng)得主約翰·米爾諾（John Milnor）在嘗試僅使用圓和二維表面構(gòu)建空間時(shí)注意到了一個(gè)問(wèn)題：歐拉類(lèi)在二維中的復(fù)雜程度是有限的。這一觀察結(jié)果滾雪球般地進(jìn)入了更高維度的整個(gè)研究領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家們很快意識(shí)到米爾諾的“復(fù)雜性界限”并不適用于所有維度的空間。

Monod解釋說(shuō)：“幾十年來(lái)一直懸而未決的一個(gè)問(wèn)題是，在4維空間上粘合球面會(huì)是什么樣？它們組合在一起的方式也有限制嗎？他繼續(xù)說(shuō)道：“在4維空間上粘合球面是一個(gè)特別重要的結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫@正是第一個(gè)'奇異球面'的構(gòu)造方式！”

理解空間的經(jīng)典方法已被證明無(wú)法解決這個(gè)4維問(wèn)題。因此，洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家轉(zhuǎn)向以瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利命名的伯努利過(guò)程來(lái)尋求靈感。伯努利過(guò)程是拋硬幣的模型，與球面和歐拉類(lèi)的研究相結(jié)合，最終解決了這個(gè)問(wèn)題。