前段時(shí)間完美聊了一下麥克斯韋方程，那么聊到世界上最完美的公式，就肯定離不開歐拉公式，如果說(shuō)麥克斯韋方程首次讓物理學(xué)界迎來(lái)了大一統(tǒng)，那么歐拉公式就可以被稱為“公式之母”，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)界以及物理界的公式都是受他影響而誕生，可以說(shuō)推動(dòng)了數(shù)學(xué)界和物理界的大發(fā)展，數(shù)學(xué)家們更是評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。而這個(gè)公式的發(fā)明者歐拉也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，是數(shù)學(xué)界的四大天王（“數(shù)學(xué)之神”阿基米德、牛頓、“數(shù)學(xué)王子”高斯、歐拉）。

我們先來(lái)聊聊歐拉，歐拉可以說(shuō)就是為數(shù)學(xué)而生，人家9歲，就把牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》看完了。

13歲考入巴塞爾大學(xué)一開始是主修哲學(xué)和法律。后來(lái)覺(jué)得太容易了，太輕松了。一口氣又修了數(shù)學(xué)、神學(xué)、希伯來(lái)語(yǔ)以及希臘語(yǔ)。

課余還研究音樂(lè)、物理、建筑啥的。這他都覺(jué)得大學(xué)過(guò)的很閑?；藘赡陼r(shí)間就把六個(gè)專業(yè)學(xué)完了，然后畢業(yè)了......

順手考了一個(gè)碩士，可能是覺(jué)得碩士學(xué)習(xí)的內(nèi)容太簡(jiǎn)單了，歐拉完全提不起興趣。心想要不然就考個(gè)博士吧。

然后碩士讀了一年了就成功考取了博士。

這些歐拉才心滿意足，覺(jué)得還是有點(diǎn)學(xué)習(xí)的價(jià)值，乖乖讀了3年。19歲就成功博士畢業(yè)了。博士畢業(yè)論文就是寫的物理論文。

為啥說(shuō)歐拉自負(fù)傲嬌氣性大，因?yàn)樗?0歲的時(shí)候參加巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金的爭(zhēng)奪，就拿了一個(gè)第二。

歐拉啥時(shí)候受過(guò)這樣的氣啊，心想雖然自己比賽的時(shí)候也是灑灑水，沒(méi)這么認(rèn)真。也不至于就第二吧。

當(dāng)年拿第一的皮埃爾·布格也是厲害人物，在多個(gè)領(lǐng)域有很高成就，被后世尊為“ 造船工程學(xué)之父 ”。

可惜他碰上的對(duì)手是歐拉。

歐拉很生氣，后果很憤怒。接下來(lái)12年，建筑大賽的冠軍都被歐拉拿了。

到了33歲，歐拉才覺(jué)得氣消，不再參與比賽。27歲那年，他發(fā)明了一系列對(duì)人類影響深遠(yuǎn)的符號(hào)——圓周率的符號(hào)π、函數(shù)符號(hào)f(x)、以及三角學(xué)符號(hào)sin、cos、tg等等都是他發(fā)明的。

歐拉憑一己之力，成功為中國(guó)數(shù)學(xué)教材貢獻(xiàn)了無(wú)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。讓中國(guó)學(xué)生在中考、高考的數(shù)學(xué)火海里苦苦掙扎，然而，這只是人家做的一點(diǎn)點(diǎn)微博貢獻(xiàn)。

從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式都是他送給理科系大學(xué)生的禮物。

還有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫寫信給歐拉時(shí)提出的?，F(xiàn)在流行的版本是歐拉記載下來(lái)的。

歐拉在數(shù)學(xué)的勤奮還有天賦真的是前無(wú)古人。號(hào)稱科研就和生活一樣?？赡茉诤纫槐臅r(shí)候，就立馬想處一個(gè)公式來(lái)了。

另外，他還順便創(chuàng)造了幾個(gè)全新的學(xué)科：拓?fù)鋵W(xué)、彈道學(xué)、分析力學(xué)，還自學(xué)成為了制圖學(xué)家。全歐洲的天文學(xué)家正在討論該如何計(jì)算彗星的軌道，100多個(gè)專家苦苦嘗試卻毫無(wú)進(jìn)展。

27歲的歐拉聽說(shuō)了這件事之后，得瑟之心油然而生，為了顯擺自己的智商，他連續(xù)三天不吃不喝不睡，搞出了一套計(jì)算彗星軌道的方法。

然而天道好輪回，天才也繳稅，由于連續(xù)三天沒(méi)合眼，他的右眼勞累過(guò)度，瞎掉了...

不過(guò)他表示還可以再堅(jiān)持一下，30歲的獨(dú)眼歐拉出版了震古爍今的巨著《力學(xué)，或解析地?cái)⑹鲞\(yùn)動(dòng)的理論》，提出了質(zhì)點(diǎn)的概念。

還在速度與加速度問(wèn)題上引入了矢量，一系列巨大成果，改變了人類發(fā)展的走向。

32歲時(shí)候，很久沒(méi)有跨界的他，心里癢癢的，于是出版了一部音樂(lè)理論著作，順便發(fā)明了，空氣動(dòng)力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)。。

在59歲的時(shí)候，歐拉徹底瞎了，但是歐拉覺(jué)得好像解放了新世界。雖然看不清楚，沒(méi)有辦法計(jì)算，但是歐拉強(qiáng)悍的心算能力彌補(bǔ)了這一點(diǎn)。

歐拉的記憶力和心算能力是罕見(jiàn)的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代筆記的內(nèi)容。

而且老年時(shí)期還能清楚記得維吉爾的史詩(shī)《埃涅阿斯紀(jì)》，這本書有多厚呢，人民出版社翻譯的中文版共有300多頁(yè)。

歐拉可以清晰記得哪一句在哪一頁(yè)哪一段哪一行。

有一個(gè)例子足以說(shuō)明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來(lái)，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位。

歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來(lái)．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問(wèn)題和很多復(fù)雜的分析問(wèn)題．歐拉以驚人的記憶力還有能力解決了需要計(jì)算的難題，寫東西更勤快了。還創(chuàng)立了分析力學(xué)和剛體力學(xué)

他喜歡拿自己的小孩做背板，然后在那里計(jì)算。就和這幅圖一樣。

1771年，64歲的歐拉因?yàn)楸说帽さ拇蠡馂?zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中。

雖然他被別人從火海中救了出來(lái)，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。

記憶力驚人的歐拉表示，燒掉了有什么，我再重新寫出來(lái)不就好了。

他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄。

然而即使歐拉奮戰(zhàn)了13年，依然才整理出來(lái)一小部分被燒毀的成果，可以說(shuō)如果不是這場(chǎng)大火，那么歐拉遺留下來(lái)的成果你想想對(duì)文明的進(jìn)步會(huì)有多大的發(fā)展。

他大火之后整理出來(lái)的小部分成果共包括886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

以歐拉命名的公式與定理，足足有數(shù)十個(gè)。這其中最為知名的就是我們的主體“歐拉公式”，這條恒等式第一次出現(xiàn)于1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction，它是復(fù)分析的歐拉公式特例。。

歐拉公式并沒(méi)有多復(fù)雜，反而方程簡(jiǎn)單，有點(diǎn)像武林高手，達(dá)到了最高境界，返璞歸真一樣的感覺(jué)。

看起來(lái)是不是特別地簡(jiǎn)單，但是這個(gè)公式在以前即使是許多的數(shù)學(xué)界窮盡一生都很難琢磨明白， 它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π；兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的0。

那么為什么說(shuō)這個(gè)公式非常復(fù)雜呢？因?yàn)槟憧梢杂梅浅６嗖煌姆绞饺プC明它，你既可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以用推理證明，也可以分式推導(dǎo)，還可以用復(fù)變函數(shù)求證，甚至你可以用 平面幾何學(xué)、 物理學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)來(lái)推證。所以才說(shuō)他蘊(yùn)含了所有的數(shù)學(xué)元素，甚至蘊(yùn)含了宇宙的至理法則。

自然數(shù)也被稱為歐拉數(shù)的“e”含于其中。 自然對(duì)數(shù)的底、 素?cái)?shù)定理、完全率、阻力落體、粒子運(yùn)動(dòng)，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，都蘊(yùn)含著“e'

而另外一個(gè)超越數(shù)，π，大家相比很清楚了，就是圓周率。這兩個(gè)超越數(shù)都是歐拉發(fā)明的。

也包含了最重要的運(yùn)算符號(hào) + ，最重要的關(guān)系符號(hào) = 。而0和1，是構(gòu)造群，環(huán)，域的基本元素，也是構(gòu)造代數(shù)的基礎(chǔ)。 而虛單位 i 使數(shù)軸上的問(wèn)題擴(kuò)展到了平面，在哈密爾的 4 元數(shù)與 凱萊的 8 元數(shù)中也離開不了它。

所以你明白為什么這個(gè)公式非常之復(fù)雜了嗎？也正是因?yàn)槠浜w范圍如此廣泛，如三角函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)、概率論、群論等受到了它的影響。它同樣對(duì)物理學(xué)影響也非常巨大，如機(jī)械波論、電磁學(xué)、波動(dòng)光學(xué)以及引發(fā)了電子學(xué)革命的量子力學(xué)的理論基礎(chǔ)也蘊(yùn)含其中。 也將物理學(xué)中的圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、機(jī)械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......

舉一個(gè)例子，你可以使用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展開有無(wú)窮級(jí)數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2?。珃^3/3！＋z^4/4?。珃^n/n?。?此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集?？梢哉f(shuō)歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。

還可以把它擴(kuò)展為時(shí)間的函數(shù)。（引用至CSDN xieyan0811 ）

加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時(shí)間，w是系數(shù)。把平面上的轉(zhuǎn)圈擴(kuò)展成了空間中的轉(zhuǎn)圈，縱軸表示時(shí)間t，兩個(gè)橫軸分別為實(shí)部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍(lán)線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是e^ix，即，把時(shí)域上的e^ix分別投射到了實(shí)軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時(shí)間t的函數(shù)．圖中可看到正余和余弦的投射（紅／綠）。如果用python做3D圖，拖動(dòng)旋轉(zhuǎn)角度效果更直觀．這就是傅立葉變換原理：將時(shí)域值拆分映射到頻域，通過(guò)三角函數(shù)的疊加表示。

還有拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式

v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。 如果p可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。

所以看完之后，你就能知道為什么歐拉公式被譽(yù)為“上帝創(chuàng)造的公式”了吧，很多數(shù)學(xué)家甚至物理學(xué)家都從歐拉公式里得到了啟發(fā)，高斯曾經(jīng)說(shuō)：“一個(gè)人第一次看到這個(gè)公式而不感到它的魅力，他不可能成為數(shù)學(xué)家?！?/p>

物理學(xué)家查德·費(fèi)曼驚呼：歐拉恒等式不但是“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”，也是現(xiàn)代物理學(xué)的定量之跟。

只是不知道為數(shù)學(xué)而痛苦的各位，是不是看到這個(gè)公式十分氣憤，畢竟很多我們中高考大學(xué)的公式都是受它影響～