在八年級(jí)第一學(xué)期的幾何證明中，有以下幾種輔助線的添線方法：
① 證明角的倍半關(guān)系時(shí)，借助“翻折”的性質(zhì)，構(gòu)造等腰三角形
② 當(dāng)出現(xiàn)了“不在同一直線上的線段和差關(guān)系”時(shí)，借助“翻折”的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形
③ 證明線段相等時(shí)，通過“倍長中線”或“作平行線”構(gòu)造“X”型全等三角形
④ 當(dāng)出現(xiàn)“直角三角形斜邊中點(diǎn)”時(shí)，構(gòu)造“中線”是常見的添線方法
⑤ 當(dāng)出現(xiàn)“線段的垂直平分線”時(shí)，聯(lián)結(jié)垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)
⑥ 當(dāng)出現(xiàn)“角的平分線”時(shí)，向角的兩邊作垂線
解法分析：本題的背景是∠C=2∠B的情況，當(dāng)出現(xiàn)∠BAC的平分線、BC邊上的高一級(jí)BC=2AC這些特殊情況時(shí)，探索線段間的數(shù)量關(guān)系或者求某個(gè)角的度數(shù)，其添線的思路都是利用∠C=2∠B這一條件，構(gòu)造等角，從而利用等腰三角形的性質(zhì)尋找相等的線段。
本題的第(1)問出現(xiàn)了角平分線的條件，由于本題是建立線段間的和差關(guān)系，因此不能向角的兩邊作垂線，而是利用翻折的意義，翻折▲ABD或▲ACD，從而構(gòu)造全等三角形，達(dá)到線段間得轉(zhuǎn)化。翻折后，由于出現(xiàn)了倍角和半角，因此出現(xiàn)了等腰三角形，構(gòu)造了相等得線段。
本題的第(2)問出現(xiàn)了底邊上的高，因此，利用翻折的意義，翻折▲ABD或▲ACD，構(gòu)造2CD（垂直平分線的性質(zhì)定理）。翻折后，由于出現(xiàn)了倍角和半角，因此出現(xiàn)了等腰三角形，構(gòu)造了相等得線段。
本題的第(3)問出現(xiàn)了BC=2AC這一特殊條件，要證明∠A=90°，實(shí)際上是證明∠B=30°。本題輔助線添線的誤區(qū)在于作BC的中點(diǎn)，由于需要證明∠A=90°，因此此時(shí)無法說明中線為BC的一半，因此采取的方法是構(gòu)造∠B或∠C的等角，構(gòu)造等腰三角形，從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。
變式(1)和上述第(3)問的區(qū)別在于已知直角三角形的背景，因此通過構(gòu)造斜邊上的中線達(dá)到了BD=2AE的轉(zhuǎn)化，以及構(gòu)造了等腰三角形，實(shí)現(xiàn)了∠C=∠AED等角的轉(zhuǎn)化。
變式(2)的突破口在于“DE+BC=2BD”，通過構(gòu)造與DE相等的線段，構(gòu)造了一組全等三角形，從而實(shí)現(xiàn)了“BF=2AF”的轉(zhuǎn)化，通過證明∠BAF=90°，即可證明∠B=30°。
解法分析：本題的背景是作▲ABC外兩個(gè)等腰直角三角形，若▲BAC=90°，那么本道題不需要添加任何輔助線，只需要證明▲BAC和▲DAE全等即可。但是由于∠BAC不是直角，而又要證明和線段倍半相關(guān)的結(jié)論，就需要利用“中心對稱”的相關(guān)思路，即“倍長中線”或“作平行線”的方式構(gòu)造“X”型全等三角形，達(dá)成線段的轉(zhuǎn)化。本題的第(1)問要證明DE=2AM，由于▲BAC不是直角三角形，并且▲BAC和▲DAE不全等，因此不能利用直角三角形斜邊中線的相關(guān)性質(zhì)。聯(lián)想通過倍長AM構(gòu)造全等三角形，或過點(diǎn)C作AB的平行線，也能達(dá)到同樣的目的。
本題的第(2)問是證明G為DE中點(diǎn)，由于要證明G為DE中點(diǎn)，因此不能采取倍長中線的方式，本題可以采取過點(diǎn)D作AE平行線的方式。證明三角形全等的難點(diǎn)在于尋找等角，這里就要充分運(yùn)用GH⊥BC的條件，利用角的和差進(jìn)行證明。
本題的第(2)問還可以借助“一線三直角模型”，通過作兩條垂線，兩次證明三角形全等，從而尋找“等邊”，最后利用一組“X型”證明三角形全等。
與角平分線、垂直平分線相關(guān)的輔助線添線方法匯總
本題的突破口在于點(diǎn)P是垂直平分線和角平分線的交點(diǎn)，因此利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)定理，可以往角的兩邊做垂線或聯(lián)結(jié)AP、BP，即構(gòu)造了全等的兩個(gè)直角三角形，通過角的轉(zhuǎn)化得∠APB=90°，由F是AB中點(diǎn)，得AB=2PF，同時(shí)可以得到▲BAP為等腰直角三角形。本文中練習(xí)題來源“空中課堂”第19章幾何證明學(xué)習(xí)單
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