|
關(guān)鍵詞：相變與臨界現(xiàn)象，普適性，標(biāo)度律，伊辛模型，自旋玻璃，統(tǒng)計物理，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 特刊主題： Phase Transitions and Emergent Phenomena: How Change Emerges through Basic Probability Models 特刊鏈接： https://www./journal/entropy/special_issues/Probability_Models
特刊信息 特刊論文介紹
1. 真實副本之間的距離變化導(dǎo)致自旋玻璃相變 2. 伊辛自旋玻璃的超標(biāo)度違反 3. （四）雙元格三維伊辛模型 4. 基于伊辛模型的隨機塊模型的精確恢復(fù) 5. 有向 BA 網(wǎng)絡(luò)上的離散意見動力學(xué)模型 6. 網(wǎng)絡(luò)生成樹的普適性和有限尺寸修正 19世紀末，玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）和同時代人開創(chuàng)了統(tǒng)計物理學(xué)。該學(xué)科的支柱包括“自下而上”的相變理論和臨界現(xiàn)象，它建立在如楞次（Wilhelm Lenz）和伊辛（Ernst Ising）在20世紀初的想法和工作的基礎(chǔ)上。用霍金的話來說，我們正處于“復(fù)雜性的世紀”，關(guān)注的問題從支配物質(zhì)的基本法則，轉(zhuǎn)向一切事物如何相互聯(lián)系。盡管伊辛最初的研究并沒有得到期望的相變結(jié)果，但是隨機性加上微觀層面的總體簡化可以解釋宏觀層面的狀態(tài)變化這一想法是開創(chuàng)性的?，F(xiàn)在我們知道了維度、相互作用范圍、對稱性、模型為經(jīng)典或量子、平衡或非平衡等在理解物理變化中的重要性。大量的研究涵蓋了這類系統(tǒng)的各種變量如何描述日益復(fù)雜的系統(tǒng)，但是將概率應(yīng)用于簡化多體系統(tǒng)的基本思想是從社會系統(tǒng)中借鑒來的。近年來，隨著“涌現(xiàn)”概念的出現(xiàn)，復(fù)雜系統(tǒng)的統(tǒng)計物理重新?lián)肀Я怂目鐚W(xué)科誕生處，補充且拓展了物理學(xué)，并為我們對世界的理解做出了貢獻。本期特刊聚焦在微觀層面上簡單但在宏觀層面上復(fù)雜的模型。特刊對正面結(jié)果和像伊辛這樣的負面結(jié)果都感興趣，反思統(tǒng)計物理的發(fā)源，同時也歡迎跨學(xué)科研究和傳統(tǒng)物理學(xué)。本刊關(guān)注變化這一概念——無論變化發(fā)生在何處，簡單的事物如何通過非平凡的機制涌現(xiàn)復(fù)雜的事物。1. 真實副本之間的距離變化導(dǎo)致自旋玻璃相變 Spin Glasses in a Field Show a Phase Transition Varying the Distance among Real Replicas (And How to Exploit It to Find the Critical Line in a Field)https://www./1099-4300/22/2/250 這篇論文的作者之一是2021年諾貝爾物理學(xué)獎得主 Giorgio Parisi。在物理學(xué)中，Parisi 的一項著名工作是自旋玻璃理論中的復(fù)本方法（replica method）。復(fù)本方法是處理隨機相互作用的一個標(biāo)準(zhǔn)技巧。自旋玻璃理論深刻地揭示了無序體系中的隱藏對稱性，Parisi 等人提出了復(fù)本間的交疊序參量來表征自旋玻璃的相變。這篇論文討論了一種過去很少考慮的自旋玻璃模型中的相變，即當(dāng)兩個真實副本（replica）的距離被強迫擴大到比正常情況大（重疊較?。?/span>時可能發(fā)生的相變。在工作的第一部分，作者們通過解析地求解接近臨界點的場中的 Sherrington-Kirkpatrick 模型，發(fā)現(xiàn)即使在順磁相，強迫兩個真實副本的重疊足夠小會導(dǎo)致模型發(fā)生相變，副本之間的對稱性自發(fā)破缺。更重要的是，這種相變與de Almeida-Thouless (dAT) 臨界線有關(guān)。在工作的第二部分，作者們利用兩個真實副本之間重疊的相變，來識別有限維自旋玻璃中場中的臨界線。因為需要進行大量的有限尺寸修正，這個計算問題的困難眾所周知。作者們?yōu)闊o序系統(tǒng)引入了一種分析蒙特卡羅數(shù)據(jù)的新方法，其中兩個真實副本之間的重疊被作為一個條件變量。然后這種分析被應(yīng)用于 d =1 自旋玻璃模型場中順磁相的平衡測量, 這里自旋玻璃模型具有長程相互作用，衰減得足夠快，超出了平均場理論的有效范圍。這項工作對場中的熱力學(xué)臨界溫度提供了非?？煽康墓烙?。
圖1. 紅色曲線是 dAT 臨界線，分隔了順磁相和玻璃相。在順磁相的藍色曲面以下，副本對稱性被打破。 論文題目：Hyperscaling Violation in Ising Spin Glasses論文地址：https://www./1099-4300/21/10/978 物理系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)和宏觀現(xiàn)象可能不盡相同，但在臨界點附近，卻可能表現(xiàn)出類似的相變行為，遵循顯著的冪律關(guān)系，具有相同的臨界指數(shù)。而且這些臨界指數(shù)并非彼此獨立，而是通過標(biāo)度律（scaling rule）聯(lián)系起來。如果再引入系統(tǒng)的空間維數(shù)，則得到超標(biāo)度律（hyperscaling rule）。對于朗道相變理論，超標(biāo)度關(guān)系通常并不成立，當(dāng)且僅當(dāng)空間維度 d=4 時，超標(biāo)度關(guān)系才成立。Edwards–Anderson 伊辛自旋玻璃（Ising Spin Glass）的淬火相互作用被明確假設(shè)為是隨機的，遵循與標(biāo)準(zhǔn)伊辛模型相同的基本標(biāo)度律和普適性。至于超標(biāo)度關(guān)系，眾所周知，在標(biāo)準(zhǔn)伊辛模型中，當(dāng)維度超過上臨界維數(shù) d=4 時，超標(biāo)度律坍塌 ；M. Schwartz 在1991年指出，超標(biāo)度也可以在具有淬火隨機相互作用的伊辛系統(tǒng)中被破壞，屬于這類系統(tǒng)的隨機場伊辛模型已經(jīng)被深入研究。本文主要研究伊辛自旋玻璃中超標(biāo)度違反的證據(jù)。文章給出了3、4、5、7維情況下，將歸一化 Binder 累積量與約化關(guān)聯(lián)長度聯(lián)系起來的數(shù)值伊辛自旋玻璃數(shù)據(jù)。在3、4維以及超過上臨界維數(shù)時，超標(biāo)度明顯被違反。研究得到了各種模型中違反超標(biāo)度指數(shù)數(shù)值的估計。(Four) Dual Plaquette 3D Ising Modelshttps://www./1099-4300/22/6/633 三維元格（Plaquette）伊辛模型的一個特征是其平面子系統(tǒng)的對稱性。已證明該模型的量子版本通過對偶性與 X-Cube 模型相關(guān)聯(lián)，X-Cube 模型是快速發(fā)展的分形子（fracton）領(lǐng)域的一個范例。三維元格伊辛模型與 X-Cube 模型之間的關(guān)系，類似于二維量子橫向自旋伊辛模型與 Toric 編碼之間的關(guān)系。計算二維伊辛模型的全局對稱性并考慮高溫相的規(guī)范不變區(qū)產(chǎn)生了 Toric 編碼，而計算三維量子橫向自旋元格伊辛模型的子系統(tǒng)對稱性則產(chǎn)生了 X-Cube 模型。在對偶化 X-cube 模型無分形子部分的語境下，一個利用三種自旋的非標(biāo)準(zhǔn)對偶形式的三維元格伊辛模型最近引發(fā)討論。本文研究了這種非標(biāo)準(zhǔn)對偶哈密頓量的經(jīng)典自旋版本，并討論了它與更為熟悉的類 Ashkin-Teller 對偶及其相關(guān)對偶公式的關(guān)系，以及更遠的包括邊和頂點自旋與非伊辛自旋的對偶形式的關(guān)系。圖2. 在三維元格伊辛模型的一個立方體的一個面上，翻轉(zhuǎn)自旋并不會改變能量。圖中第一個立方體是反鐵磁態(tài)，所有自旋為+；其他三個立方體的陰影面的角上的自旋為?，其他自旋為+。所有四種自旋構(gòu)型有相同能量。 Exact Recovery of Stochastic Block Model by Ising Modelhttps://www./1099-4300/23/1/65 在網(wǎng)絡(luò)分析中，社團檢測（community detection）是指推斷圖中連接更密集的頂點集合。社團檢測已被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，包括推薦系統(tǒng)、分布式計算中的任務(wù)分配、基因表達等。隨機塊模型（Stochastic Block Model）是社團檢測問題中最常用的統(tǒng)計模型之一。隨機塊模型是隨機圖的生成模型，它傾向于生成包含社團的圖，常作為恢復(fù)圖數(shù)據(jù)中社團結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)。恢復(fù)社團的任務(wù)分為精確恢復(fù)（exact recovery）與部分恢復(fù)（partial recovery），前者要求算法估計的社團與隨機塊模型的社團結(jié)構(gòu)完全相同，后者要求算法盡可能減小錯誤分類的節(jié)點比例。通常會分析當(dāng)圖的規(guī)模趨于無窮大時，檢測誤差的漸近特性。本文研究定義在隨機塊模型上的伊辛模型的相變特性。在伊辛模型（節(jié)點狀態(tài)的概率分布）的基礎(chǔ)上，文章提出了一種隨機估計方法來實現(xiàn)隨機塊模型的精確恢復(fù)。隨機算法可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，其中包括最大似然和最大模塊化的特殊情況。此外，本文給出了隨機塊模型參數(shù)的無偏收斂估計，該估計可以在恒定時間內(nèi)計算。最后，利用 metropolis 采樣實現(xiàn)了隨機估計，并通過實驗驗證了相變現(xiàn)象。5. 有向 BA 網(wǎng)絡(luò)上的離散意見動力學(xué)模型 Kinetic Models of Discrete Opinion Dynamics on Directed Barabási–Albert Networkshttps://www./1099-4300/21/10/942 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于自然中的網(wǎng)絡(luò)和人的網(wǎng)絡(luò)，除此之外，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的自旋系統(tǒng)也可用于研究相變特征，以及臨界行為對應(yīng)的普適性類。在有向 Barabási-Albert（BA）網(wǎng)絡(luò)中，已經(jīng)證明最近鄰自旋 1/2 伊辛模型沒有相變，但非平衡多數(shù)投票模型（majority-vote model）表現(xiàn)出有序-無序動態(tài)相變。2012年，Biswas、Chatterjee、Sen 引入了連續(xù)（或離散）意見動力學(xué)模型，BCS 模型可以具有正的或負的相互作用，連續(xù) BCS 模型的數(shù)值模擬表明存在普遍的連續(xù)相變。本文利用 Monte Carlo 模擬方法，研究了有向 BA 網(wǎng)絡(luò)上的離散意見動力學(xué)模型，即 BCS 模型的離散版本，發(fā)現(xiàn)該體系存在連續(xù)相變。研究得到了這些有向網(wǎng)絡(luò)的幾個連通度值的噪聲參數(shù)臨界值。此外還計算了序參數(shù)的臨界指數(shù)之比與關(guān)聯(lián)長度的感應(yīng)強度。作者們注意到，臨界指數(shù)之比隨著網(wǎng)絡(luò)連通性的變化而變化，這些有向 BA 網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)模型和多數(shù)投票模型屬于同一普適性類。6. 網(wǎng)絡(luò)生成樹的普適性和有限尺寸修正 Universality and Exact Finite-Size Corrections for Spanning Trees on Cobweb and Fan Networkshttps://www./1099-4300/21/9/895 普適性的概念是臨界現(xiàn)象理論的基石。對于大多數(shù)系統(tǒng)，特別是在熱力學(xué)極限下，普適性都得到了很好的理解。然而，在有限系統(tǒng)的修正項中，邊界特征是明顯的。對有限尺寸標(biāo)度和標(biāo)度修正的理論研究，包括外推有限或部分有限系統(tǒng)，以確定它們對應(yīng)的無限系統(tǒng)的臨界和非臨界性質(zhì)。有限尺寸系統(tǒng)帶來了挑戰(zhàn)。即使在低維，邊和角對自由能和響應(yīng)函數(shù)的貢獻的普適性也很少被研究和理解。特別是有一個問題，屬于同一普適性類、但具有非常不同角幾何的系統(tǒng)，在標(biāo)度修正中如何保持普適性。二維幾何提供了最簡單的例子，可以構(gòu)造有角和沒有角的圖形。為了研究角的存在和不存在如何體現(xiàn)普適性，本文分析了兩種不同的有限系統(tǒng)，即蛛網(wǎng)（cobweb）和扇形網(wǎng)絡(luò)（fan network）上的生成樹（Spanning Tree）生成函數(shù)。生成樹是一個連通圖的子圖，表示將結(jié)構(gòu)中每個節(jié)點鏈接起來的最有效方式。有限尺寸的蛛網(wǎng)沒有角，而扇形網(wǎng)絡(luò)有四個角。因為期待了解它們的普適特性，這些構(gòu)型的角自由能激發(fā)了人們極大的興趣。2002年，Ivashkevich、Izmailian、Hu 開發(fā)了一種方法，可以為各種基本函數(shù)，比如配分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，提供精確的有限尺寸修正。該方法被應(yīng)用于多種統(tǒng)計物理模型中，如伊辛模型、二聚體模型和高斯模型，結(jié)果表明，每個模型的配分函數(shù)都可以寫成具有扭曲邊界條件（twisted boundary condition）的一般配分函數(shù)。這項研究使用 Ivashkevich-Izmailian-Hu 方法，將不同網(wǎng)絡(luò)的生成函數(shù)統(tǒng)一為具有扭曲邊界條件的單個配分函數(shù)。這種統(tǒng)一方法表明，扇形網(wǎng)絡(luò)四個角的自由能相互抵消，貢獻之和為零，因此與沒有角的蛛網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)的貢獻一致。因此，它也符合共形理論（其中心電荷為 c=?2）和有限尺寸標(biāo)度預(yù)測。該研究驗證了 Ivashkevich-Izmailian-Hu 算法的穩(wěn)健性。其廣泛的有用性體現(xiàn)在可以應(yīng)用到迄今為止尚未解決的問題——即生成函數(shù)對數(shù)的精確漸近展開，以及扇形和蛛網(wǎng)幾何的共形配分函數(shù)。作者們還研究了帶狀幾何（strip geometry），再次證實了共形場論的預(yù)測。因此，普適性難題的解決證明了算法的強大，并開辟了未來的新應(yīng)用。圖3. (a) M=3, N=8 的 M×N 蛛網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)。(b) M=3, N=7 的 M×N 扇形網(wǎng)絡(luò)。跨尺度、跨層次的涌現(xiàn)是復(fù)雜系統(tǒng)研究的關(guān)鍵問題，生命起源和意識起源這兩座仰之彌高的大山是其代表。而因果涌現(xiàn)理論、機器學(xué)習(xí)重整化技術(shù)、自指動力學(xué)等近年來新興的理論與工具，有望破解復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)規(guī)律。同時，新興的因果表示學(xué)習(xí)、量子因果等領(lǐng)域也將為因果涌現(xiàn)研究注入新鮮血液。集智俱樂部特別組織「因果涌現(xiàn)」系列讀書會，深入研讀相關(guān)文獻，激發(fā)科研靈感。目前已經(jīng)進行了兩季，聚集了500+成員，積累了大量論文解讀資料。歡迎感興趣的朋友報名，加入因果涌現(xiàn)社區(qū)，并解鎖對應(yīng)錄播權(quán)限。
|
