什么叫共軛洛侖茲變換

吳家榮

內(nèi)容摘要

  洛侖茲變換有相互共軛的兩種形式，一種形式適用于相離運(yùn)動(dòng)；另一種形式適用于相向運(yùn)動(dòng)。

適合于相離運(yùn)動(dòng)的共軛洛侖茲變換的一支，是洛侖茲先生首先假設(shè)提出的，是愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中本應(yīng)首先證明的。但因愛(ài)因斯坦涉嫌學(xué)術(shù)造假，用“經(jīng)典洛侖茲變換”代替了“共軛洛侖茲變換”，使狹義相對(duì)論走向了歧途。

愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中，說(shuō)是推導(dǎo)出了“經(jīng)典洛侖茲變換”，其實(shí)愛(ài)因斯坦推導(dǎo)出來(lái)的是“共軛洛侖茲變換”的一支。

他為了利用洛侖茲先生的威望，成就自己，進(jìn)行了學(xué)術(shù)造假。把“經(jīng)典洛侖茲變換”放在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中，掛了100多年。

關(guān)鍵詞  共軛洛侖茲變換 　經(jīng)典洛侖茲變換

§1  共軛洛侖茲變換和經(jīng)典洛侖茲變換的區(qū)別

§1.1 經(jīng)典洛侖茲變換

愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中實(shí)際給出的是經(jīng)典洛侖茲變換：

以x′的值代入，就得出

              （A）   

其中： 

而φ（v）仍為未知函數(shù)。”（《相對(duì)論原理》Ｐ39，科學(xué)出版社，1980年，A·愛(ài)因斯坦等著。）

§1.2 共軛洛侖茲變換

愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中本應(yīng)給出的是共軛洛侖茲變換：

以x′的值代入，就得出

                （B）

其中：    

愛(ài)因斯坦推導(dǎo)的本來(lái)應(yīng)該是公式（B），但公式（A）卻在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中掛了100多年，而公式（A）與公式（B）每項(xiàng)相差了一個(gè)相對(duì)論系數(shù)。(參見(jiàn)論文：質(zhì)疑《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》)

§1.3 完整的共軛洛侖茲變換

洛侖茲變換是兩組公式，包含一個(gè)虛數(shù)i，所以才叫“共軛洛侖茲變換”。

適用于相離運(yùn)動(dòng)的洛侖茲變換    

其中： 

   適用于相向運(yùn)動(dòng)的洛侖茲變換

其中： 

§2 “共軛洛侖茲變換”的來(lái)源

“共軛洛侖茲變換”不是我的首創(chuàng)。

§2.1 “共軛洛侖茲變換”是洛侖茲先生首先假設(shè)提出的

§2.2 “共軛洛侖茲變換”是愛(ài)因斯坦在“論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)”中首先證明的

   愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中。也認(rèn)為：Ｙ軸和Ｚ軸上都有“相對(duì)論因子”。

    愛(ài)因斯坦推導(dǎo)說(shuō)：“類(lèi)似地，把剛才的做法應(yīng)用于Ｙ，Ｚ軸，并記住從靜系統(tǒng)看來(lái)，光沿這些軸的傳播速度為。就得出

 ”

（《相對(duì)論原理》Ｐ38，科學(xué)出版社，1980年，A·愛(ài)因斯坦等著）

這里，愛(ài)因斯坦承認(rèn)，光在與運(yùn)動(dòng)速度v垂直的方向上傳播，是受沿Ｘ軸增加方向運(yùn)動(dòng)的速度v影響的。所以他讓我們記住。

這就是說(shuō)洛侖茲收縮，不僅僅是在運(yùn)動(dòng)方向（X軸方向）上收縮，而在運(yùn)動(dòng)垂直的方向（Y軸和Z軸方向）上也有收縮。或者說(shuō)洛侖茲收縮，不僅僅是運(yùn)動(dòng)方向上的線性收縮，還是空間方向的立體收縮。在X軸方向以相對(duì)論系數(shù)收縮，在Y軸和z軸方向以相對(duì)論系數(shù)收縮。

二、愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中推導(dǎo)的是共軛洛侖茲變換

愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中本應(yīng)推導(dǎo)出“共軛洛侖茲變換”的一支，卻給出了“經(jīng)典洛侖茲變換”，放在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中，掛了整整一百多年。愛(ài)因斯坦利用了洛侖茲先生的威望，成就了自己。參見(jiàn)愛(ài)因斯坦“論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)”，“以X’代入”處，您代入推導(dǎo)一下就明白了。（《相對(duì)論原理》Ｐ４１，科學(xué)出版社，1980年，A·愛(ài)因斯坦等著。）

愛(ài)因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中并沒(méi)有給出代入推導(dǎo)過(guò)程，我給出了以X’代入推導(dǎo)過(guò)程，結(jié)果是“共軛洛侖茲變換”。（參見(jiàn) 質(zhì)疑《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》）。

三、創(chuàng)建完整的“共軛洛侖茲變換”，應(yīng)該是筆者的貢獻(xiàn)

洛侖茲的假設(shè)和愛(ài)因斯坦的推導(dǎo)，都只給出了“共軛洛侖茲變換”的一支，創(chuàng)建完整的“共軛洛侖茲變換”，應(yīng)該是筆者的貢獻(xiàn)。

§3 什么叫物理學(xué)的“共軛”，怎樣用數(shù)學(xué)工具來(lái)描述

兩類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)，兩種對(duì)稱(chēng)系數(shù)。

§3.1 左右對(duì)稱(chēng)

    對(duì)稱(chēng)系數(shù)：。觀察者位于對(duì)稱(chēng)中心。

§3.2 相離運(yùn)動(dòng)與相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)

    對(duì)稱(chēng)系數(shù)：。觀察者不在對(duì)稱(chēng)中心。

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，現(xiàn)實(shí)世界存在“兩類(lèi)空間反演”。

再舉兩個(gè)例子說(shuō)明現(xiàn)實(shí)世界存在“兩類(lèi)空間反演”。

第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)

　　在京廣線上你站在鄭州站，觀察測(cè)量由鄭州發(fā)向北京和由鄭州發(fā)向廣州的兩列火車(chē)，對(duì)于觀察者你都是相離運(yùn)動(dòng)；而觀察測(cè)量由廣州發(fā)向鄭州和由北京發(fā)向鄭州的兩列火車(chē)，對(duì)于觀察者你都是相向運(yùn)動(dòng)。這兩種鏡像對(duì)稱(chēng)，稱(chēng)為左右對(duì)稱(chēng)。因?yàn)槟闾幱趯?duì)稱(chēng)中心（鏡子處），對(duì)稱(chēng)系數(shù)都是：。屬于第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)。

  第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)

　　現(xiàn)在鐵軌多為雙軌，觀察測(cè)量由鄭州發(fā)向北京和由北京發(fā)向鄭州的兩列火車(chē)，對(duì)于觀測(cè)者你，一個(gè)在作相離運(yùn)動(dòng)，一個(gè)在作相向運(yùn)動(dòng)。你不在對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心可能在太原（鏡子）處。這就是相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)系數(shù)是：。屬于第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)。

§3.3 伽利略相對(duì)性原理是正確的，無(wú)需質(zhì)疑

　　伽利略相對(duì)性原理，是兩個(gè)慣性系分別考察時(shí)所描述的情況。即你站在靜系考察或者站在動(dòng)系考察，結(jié)論是一樣的。這就是著名的“薩爾維納斯大船”所描述的。

　　相對(duì)論相對(duì)性原理，是兩個(gè)慣性系相互考察時(shí)所描述的情況。這就要用到通訊（觀察和測(cè)量）手段。也就是愛(ài)因斯坦常常說(shuō)的“由A向B發(fā)出一束光，再由Ｂ反射回Ａ”。

仔細(xì)研究一下，“經(jīng)典洛侖茲變換”也好，“共軛洛侖茲變換”也好，在X軸上的公式都是在“伽利略變換公式”前面，加上一個(gè)相對(duì)論因子。不同的是“經(jīng)典洛侖茲變換”是錯(cuò)誤的，所以那個(gè)“相對(duì)論因子”也是錯(cuò)誤的；“共軛洛侖茲變換”給出的“相對(duì)論因子”才是正確的。

“共軛洛侖茲變換”給出在X軸方向以相對(duì)論系數(shù)收縮，在Y軸和z軸方向以相對(duì)論系數(shù)收縮。即運(yùn)動(dòng)物體的洛侖茲收縮，是空間立體收縮。運(yùn)動(dòng)物體的洛侖茲收縮只是“觀察測(cè)量效應(yīng)”，并非客觀事實(shí)。

值得一提的是：伽利略變換也應(yīng)有相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)之分。 例如：

１、伽利略變換

相離運(yùn)動(dòng)：ｘ′ ＝ｘ－ｖｔ，

相向運(yùn)動(dòng)：ｘ′ ＝ｘ－ｉｖｔ．

２、洛侖茲變換

§4  空間反演的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)性

虛數(shù)i 的數(shù)學(xué)意義我們都很清楚。下面通過(guò)對(duì)空間反演兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)性的論述，進(jìn)一步闡明共軛洛侖茲變換公式中出現(xiàn)虛數(shù)單位ｉ的物理意義；為相互共軛的兩組洛侖茲變換新公式的并存提供依據(jù)。

§4.1 什么叫相離運(yùn)動(dòng)，什么叫相向運(yùn)動(dòng)？

相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)都是比較而言，它們都是相對(duì)于靜系統(tǒng)而言的，否則就無(wú)法判別。

如圖１所示，Σ為靜系統(tǒng)，Σ′為動(dòng)系統(tǒng)以速度ｖ沿Ｘ軸增大方向運(yùn)動(dòng)。Σ〞也是動(dòng)系統(tǒng)以速度ｖ沿Ｘ軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。Σ〞構(gòu)成了Σ′的鏡像。相離運(yùn)動(dòng)（包括靜系統(tǒng)、鏡像系統(tǒng)）構(gòu)成了洛侖茲群，洛侖茲變換公式

適用于此群。

   如圖２所示，Σ為靜系統(tǒng)，Σ′為動(dòng)系統(tǒng)，在Ｘ軸的正側(cè)，沿Ｘ軸減小的方向以速度ｖ

向靜系統(tǒng)原點(diǎn)Ｏ處觀察者運(yùn)動(dòng)，Σ〞是Σ′的鏡像。相向運(yùn)動(dòng)（包括靜系統(tǒng)、鏡像系統(tǒng)）構(gòu)成了共軛洛侖茲群，洛侖茲變換公式

§4.2  兩種鏡像對(duì)稱(chēng)

　　如圖３所示，ＡＢ是相對(duì)于靜系統(tǒng)以速度ｖ向Ｘ軸增大方向運(yùn)動(dòng)的桿。ｘ′＝ｘ－ｖｔ表示桿ＡＢ的長(zhǎng)度。

這里ｘ′為常數(shù)，ｘ是ｔ的函數(shù)，可以寫(xiě)成ｘ（ｔ）。在相離運(yùn)動(dòng)中，隨著時(shí)間ｔ的流逝，ｖｔ增大，ｘ（ｔ）也增大，保持ｘ′ ＝ｘ(ｔ)－ｖｔ值不變。

在相向運(yùn)動(dòng)中，我們?cè)鯓訉⒖臻g坐標(biāo)ｘ，時(shí)間ｔ，速度ｖ和不變的桿長(zhǎng)ＡＢ（ｘ′）聯(lián)系起來(lái)呢？

如圖４所示，ｘ₁，ｘ₂為常數(shù)，表示計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)桿的空間位置，桿長(zhǎng)為(ｘ₂－ｘ₁)。ｘ′為動(dòng)坐標(biāo)表示的桿長(zhǎng)，ｘ為動(dòng)系統(tǒng)Σ′中Ｂ1 點(diǎn)到靜系Σ的原點(diǎn)空間距離，ｘ是ｔ的函數(shù)，可以寫(xiě)成ｘ(ｔ)。隨著時(shí)間ｔ的流逝，ｖｔ增大，ｘ(ｔ)減小。因此，用ｘ′＝ｘ(ｔ)±ｖｔ的任何形式，都不能表達(dá)桿長(zhǎng)的不變。或者說(shuō)，桿的長(zhǎng)度ｘ′不能同時(shí)用靜系統(tǒng)參數(shù)ｘ，ｖ，ｔ表示出來(lái)。在圖３中，ｘ和ｖｔ都是從靜系原點(diǎn)計(jì)量的，它們有共同的計(jì)量起點(diǎn)，而在圖４中ｘ從靜系原點(diǎn)計(jì)量，ｖｔ卻不是。這就是相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的區(qū)別。

　　為了建立相向運(yùn)動(dòng)桿長(zhǎng)和空間、時(shí)間、速度三者之間的聯(lián)系，需要建立新的概念。

　　一、第一種鏡像對(duì)稱(chēng)

　　我們知道，速度等于位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，空、時(shí)、速三者聯(lián)系式為

式中：?。霝槌?shù)，表示ｘ和ｖ的空間取向。ｋ＝±１．

　　這就是通常所說(shuō)的空間反演對(duì)稱(chēng)性（或左右對(duì)稱(chēng)、鏡像對(duì)稱(chēng)）。式(1) 中的ｋ＝±１稱(chēng)為鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)。

如圖１、圖２所示的相離運(yùn)動(dòng)或相向運(yùn)動(dòng)，觀察者和鏡子處于同一位置，即觀察者處于對(duì)稱(chēng)中心。在這種情況下，無(wú)論是相離運(yùn)動(dòng)（圖１）還是相向運(yùn)動(dòng)（圖２），對(duì)稱(chēng)系數(shù)都是ｋ＝±１實(shí)物運(yùn)動(dòng)?。耄剑睍r(shí)，鏡像運(yùn)動(dòng)則取ｋ＝－１。或者反之。

　　因而，只要觀察者處于對(duì)稱(chēng)中心（鏡子位置），無(wú)論是相離運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性還是相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，都有

二、第二種“鏡像”對(duì)稱(chēng)

第二種“鏡像”對(duì)稱(chēng)和第一種鏡像對(duì)稱(chēng)不同，所以鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)Ｋ的取值也不同。這第二種“鏡像”對(duì)稱(chēng)正是我們要建立的新概念。

　　如圖５所示，對(duì)于觀察者Ｋ來(lái)說(shuō)Ａ的運(yùn)動(dòng)是相離運(yùn)動(dòng)；Ａ′的運(yùn)動(dòng)是相向運(yùn)動(dòng)．這也是一種鏡像對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)，但是這和第一種鏡像對(duì)稱(chēng)不同，第一種鏡像對(duì)稱(chēng)是鏡子必須置于觀察者處，或者說(shuō)觀察者必須處于對(duì)稱(chēng)中心。而這里相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，鏡子不是置于觀察者處，觀察者不在對(duì)稱(chēng)中心。為了區(qū)別這種情況，我們引入第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)：。在一般情況下，我們寫(xiě)成

或者反之。

        應(yīng)該注意，相向運(yùn)動(dòng)時(shí)ｘ和ｖｔ不是從同一點(diǎn)取值的，換成ｉｖｔ后，就可以和ｘ在同一點(diǎn)（ｖｔ的鏡像點(diǎn)）取值了。這樣，桿的長(zhǎng)度ｘ′就可以和空間坐標(biāo)ｘ，時(shí)間ｔ以及速度v 建立聯(lián)系了。由圖４，我們得到

　　　　 X′＝ x － i v t        (4)

這和相離運(yùn)動(dòng)

　　　　 X′＝ x－v t

具有第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)的形式。

   對(duì)于第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)，k₁＝±1，表示物質(zhì)實(shí)際運(yùn)動(dòng)（實(shí)像）和鏡像運(yùn)動(dòng)（虛像）之間的方向關(guān)系，（當(dāng)然，鏡像運(yùn)動(dòng)也是實(shí)際可以發(fā)生的）。此時(shí)，物理規(guī)律相同，洛侖茲變換也相同。這是愛(ài)因斯坦通過(guò)φ(v)＝φ(－v)證明了的。

　　對(duì)于第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)，，表示物質(zhì)相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)之間的方向關(guān)系。此時(shí)，物理規(guī)律相同，洛侖茲變換不同。

　　但是，就一個(gè)觀察者來(lái)說(shuō)，他看到一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻，要么是相離而去，要么是相向而來(lái)。因而總的格式應(yīng)該如下

歸納一下應(yīng)有：

         對(duì)應(yīng)于K₂ 洛侖茲變換公式不同； 對(duì)應(yīng)于K₁洛侖茲變換形式相同。見(jiàn)表１。

§4.3 直線運(yùn)動(dòng)中的虛數(shù)

　　質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上點(diǎn)的諧振動(dòng)，反映在數(shù)值上應(yīng)是實(shí)數(shù)的變化，怎么會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)ｉ呢？

　　式（５）已經(jīng)給出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的空、時(shí)、速三者的關(guān)系

式中： 。Ｋ為鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)，Ｋ₁ 為第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)，Ｋ₂ 為第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)。這里出現(xiàn)了虛數(shù)＝ｉ。

　一、第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)  Ｋ₁＝±１

如圖６－１所示，２和３是關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性；１和４是關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性。在這兩種情況下，鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)都由Ｋ₁ ＝±１給出。２取Ｋ₁＝＋１時(shí)，３?。?/span>₁＝－１。１?。?/span>₁＝＋１時(shí)，４取Ｋ₁＝－１。或者反之。若就速度而論，這就是通常的ｖ與－ｖ的概念。      

二、第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù) 

在圖６－１中，１和２或者３和４對(duì)于原點(diǎn)處的觀察者來(lái)說(shuō)都屬于相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的非原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性。這由圖６－２會(huì)看得更清楚。在這兩種情況下，鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)都由給出。１（或３）?。?/span>₂ ＝＋１時(shí)，２（或４）?。?/span>₂ ＝ｉ。或者反之。就速度而論，這就是鏡像對(duì)稱(chēng)的新概念：ｖ與ｉｖ。

例如：

　?。?、伽利略變換

相離運(yùn)動(dòng)：ｘ′＝ｘ－ｖｔ，

　　　　相向運(yùn)動(dòng)：ｘ′＝ｘ－ｉｖｔ．

２、洛侖茲變換

§4.4  量子力學(xué)中的復(fù)數(shù)

　　量子力學(xué)公式中經(jīng)常出現(xiàn)ｉ，這是什么原因呢？至今所有的教科書(shū)中只是使用，沒(méi)有解釋。現(xiàn)在我來(lái)給出其物理意義。

　一、平面中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是和二維復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

　　電子繞核運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道是兩個(gè)互相垂直的諧振動(dòng)的合成。

   如圖７所示，ｘ和ｙ軸把電子的橢圓軌道四等分。

   ２和４是ｘ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性，同時(shí)也是ｙ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性。１和３是ｘ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性，同時(shí)也是ｙ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性。鏡像對(duì)稱(chēng)系數(shù)都是Ｋ₁  ＝±１。

　?。埠停郴颍焙停矗瑹o(wú)論在ｘ軸方向還是在ｙ軸方向都是關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)，屬于第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)系數(shù)都是。

　　電子在橢圓軌道上不斷運(yùn)動(dòng)，由ｘ軸正向運(yùn)動(dòng)到ｙ軸正向時(shí)，方向變化了90°，相當(dāng)于變化了一個(gè)ｉ，再運(yùn)動(dòng)到ｘ軸負(fù)向，方向又變化了90°，相當(dāng)于又變化了一個(gè)ｉ，但對(duì)ｘ軸正向而言方向變化了180°， 屬于第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)了。

　　為了綜合反映出電子繞核運(yùn)動(dòng)的這兩類(lèi)不斷變化同時(shí)存在的對(duì)稱(chēng)性，就必須用復(fù)數(shù)來(lái)描述。

　　　　ｗ＝ｘ＋ｙｉ．

或用量子力學(xué)公式

　　　　ψ(r,t)＝ψ。(r，t)（cosθ＋ｉsinθ），

式中： 。

 二、空間中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是和三維復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

　　我們定義三維復(fù)數(shù)為

　　　?。鳎剑椋椋?/span>

三維復(fù)數(shù)的模為　　

            。

當(dāng)ｘ₁  ＝ｘ₂ ，ｙ₁ ＝ｙ₂ ，ｚ₁ ＝ｚ₂  時(shí)，三維復(fù)數(shù)

　　　　ｗ₁ ＝ｗ₂ ．

同一虛軸上的純虛數(shù)可以加、減，即

　　    ｗ₁±ｗ₂  ＝（ｘ₁±ｘ₂ ）＋（ｙ₁±ｙ₂ ）ｉ＋（ｚ₁±ｚ₂）ｉ，

不同虛軸上的純虛數(shù)不能相加、減，即

　　　?。鳎剑?/span>±ｚｉ≠ｘ＋（ｙ±ｚ）ｉ．

于是，電子繞核在三維空間中的運(yùn)動(dòng)就可以用三維復(fù)數(shù)來(lái)描述了

　　　?。鳎剑椋椋?/span>

或者如圖８所示

由

     ｘ＝ｒcosφcosθ，

　　　　ｙ＝ｒcosφsinθ，   

　　　?。剑?/span>sinφ．

得

　　　　w＝ｒ（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）

式中： ．

　　空間任意物體的曲線運(yùn)動(dòng)總是由平移和轉(zhuǎn)動(dòng)合成的，有時(shí)相離觀察者而去，有時(shí)相向觀察者而來(lái)，為了綜合反映運(yùn)動(dòng)物體同時(shí)存在的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)性，用波函數(shù)來(lái)表示為

　　　　ψ(ｒ，ｔ)＝ψ。(ｒ，ｔ)（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）

式中： .

若用能量、動(dòng)量以及直角坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)表示，則為

現(xiàn)在我們明白了，原來(lái)量子力學(xué)公式和共軛洛侖茲變換公式中的虛數(shù)ｉ，只是第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)系數(shù)。例如：

這里存在兩類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)：

1、ｖ與（－ｖ）或者ｉｖ與（－ｉｖ），對(duì)稱(chēng)系數(shù)Ｋ₁  ＝±１。

2、ｖ與ｉｖ或者（－ｖ）與（－ｉｖ），對(duì)稱(chēng)系數(shù)。

第一類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)用于相離運(yùn)動(dòng)或相向運(yùn)動(dòng)的空間反演；第二類(lèi)鏡像對(duì)稱(chēng)用于相離運(yùn)動(dòng)和

相向運(yùn)動(dòng)的空間反演。