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閔科夫斯基 杜瑞芝 (大連理工大學(xué)) 閔科夫斯基，H．(Minkowski，Hermann)1864年6月22日生于俄國阿列克索塔斯(AлeKcoTax，今屬立陶宛)；1909年1月12日卒于德國格丁根．?dāng)?shù)學(xué)． 閔科夫斯基出生在一個(gè)猶太血統(tǒng)的商人家庭．父親經(jīng)商有道，但因是猶太人而受到沙俄政府的迫害．在閔科夫斯基8歲時(shí)，父親帶全家搬到當(dāng)時(shí)東普魯士首都柯尼斯堡定居，轉(zhuǎn)營造紙?jiān)系某隹谏猓h科夫斯基弟兄三人，他排行老三．大哥麥克斯(Max)在俄國時(shí)因種族歧視而不能進(jìn)預(yù)科學(xué)校，以后一直沒有得到正規(guī)教育，成年后與其父合伙經(jīng)商，父親死后成為一家之主．二哥奧斯卡(Oskar)早年在柯尼斯堡的預(yù)科學(xué)校讀書，后成為醫(yī)生和醫(yī)學(xué)家，曾發(fā)現(xiàn)胰臟和糖尿病之間的關(guān)系，以“胰島素之父”的稱號(hào)聞名于世．閔科夫斯基則因數(shù)學(xué)才能出眾，被譽(yù)為小神童．三兄弟以能力超群、性格迷人而被稱為“人間三奇才”，在柯尼斯堡曾轟動(dòng)一時(shí)． 閔科夫斯基于1873年進(jìn)入阿爾斯塔特預(yù)科學(xué)校讀書．他從小就表現(xiàn)出特殊的數(shù)學(xué)天賦，有“極好的記憶力和敏捷的理解力”．少年閔科夫斯基還愛好文學(xué)，他熟讀莎士比亞、席勒和哥德的作品，尤其迷戀于哥德的著作，幾乎全部能背誦下來．他只用五年半時(shí)間就學(xué)完了預(yù)科學(xué)校八年的課程，然后進(jìn)入當(dāng)?shù)卮髮W(xué)讀書．當(dāng)時(shí)德國的大學(xué)生可以自由選擇任何大學(xué)注冊(cè)，隨便流動(dòng)．閔科夫斯基不久就轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)聽課，三個(gè)學(xué)期之后又到柯尼斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)．在大學(xué)期間，他先后受教于H．von亥姆霍茲(Helmholtz)、A．胡爾維茨(Hurwitz)、F．林德曼(Lindeman)、 L．克羅內(nèi)克(Kronecker)、E．E．庫默爾(Kummer)、H．韋伯(Weber)、K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)和G．R．基希霍夫(Kirchhoff)等． 在柯尼斯堡大學(xué)，閔科夫斯基與比他晚一級(jí)的D．希爾伯特(Hilbert)結(jié)為終生摯友．1884年，年輕的德國數(shù)學(xué)家胡爾維茨到柯尼斯堡大學(xué)任職．閔科夫斯基和希爾伯特很快與他建立了友誼，共同的科學(xué)愛好把他們緊密地聯(lián)系在一起．在以后的一段時(shí)間里，他們每天定時(shí)到一片蘋果樹下散步，共同討論當(dāng)前數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題，相互交換對(duì)問題的新的理解，交流彼此的想法和研究計(jì)劃．這種友誼對(duì)他們各自的科學(xué)工作產(chǎn)生了重要的影響． 閔科夫斯基在大學(xué)期間，曾幾次因出色的數(shù)學(xué)工作而獲獎(jiǎng)．特別是在1882年，他成功地解決了巴黎科學(xué)院懸獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)問題，獲得科學(xué)院的大獎(jiǎng)．1885年夏，閔科夫斯基在柯尼斯堡大學(xué)獲博士學(xué)位．經(jīng)過短暫的服兵役之后，他于1886年被聘為波恩大學(xué)講師，1892年升任副教授．1895年，希爾伯特轉(zhuǎn)任格丁根大學(xué)教授，閔科夫斯基接替了他在柯尼斯堡大學(xué)的正教授職位．1896年，閔科夫斯基轉(zhuǎn)到蘇黎士瑞士聯(lián)邦技術(shù)學(xué)院任職，直到 1902年．在此期間，他又有幸與胡爾維茨共事．1902年，他再次接受老朋友希爾伯特的建議，到格丁根大學(xué)任教授． 閔科夫斯基于1897年與柯尼斯堡附近一位皮革廠廠主的女兒奧古斯苔·安德勒(Auguste Adler)結(jié)婚，婚后生有兩個(gè)女兒． 1909年 1月 10日，閔科夫斯基突患急性闌尾炎，因醫(yī)治無效于1月12日去世，年僅44歲． 閔科夫斯基的主要科學(xué)貢獻(xiàn)在數(shù)論、代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理等方面．在代數(shù)學(xué)中，他對(duì)二次型理論進(jìn)行了重要研究．自從19世紀(jì)初C．F高斯(Gauss)關(guān)于二元二次型的先驅(qū)性工作問世以來，推廣他的工作到n元型是許多數(shù)學(xué)家的目標(biāo)，如F．G．M．艾森斯坦(Eisenstein)、C．埃爾米特(Hermite)、H．J．S．史密斯(Smith)、M．E．C．若爾當(dāng)(Jordan)和J．H．龐加萊(Poincaré)等人都曾深入研究過這個(gè)問題．1881年春，巴黎科學(xué)院出榜公布了征求解答的題目：求一個(gè)整數(shù)分解為5個(gè)平方數(shù)之和的表示法的數(shù)目．閔科夫斯基當(dāng)時(shí)還是一名年輕的大學(xué)生，他被這個(gè)問題強(qiáng)烈地吸引住，開始潛心于這項(xiàng)研究之中．他深入鉆研了高斯、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和艾森斯坦等人的論著，掌握了狄利克雷級(jí)數(shù)和高斯的三角和方法．受高斯工作的啟發(fā)(高斯在研究把一個(gè)整數(shù)分解為3個(gè)平方數(shù)之和時(shí)利用了二元二次型的性質(zhì))，他認(rèn)識(shí)到把一個(gè)整數(shù)分解為5個(gè)平方數(shù)之和的方法與4個(gè)變?cè)亩涡偷男再|(zhì)有關(guān)．由此，閔科夫斯基研究了n個(gè)變?cè)亩涡?，引進(jìn)了有關(guān)概念的定義，特別是對(duì)“型的虧格”(genus of a form)提出了更一般、更自然的定義．他推廣了高斯的方法，探討了具較少變?cè)男陀镁咻^多變?cè)男捅硎镜膯栴}，得到整系數(shù)n元二次型的理論體系．這樣一來，大獎(jiǎng)問題的解就可以很容易地從一般理論中得出．閔科夫斯基向巴黎科學(xué)院遞交了長達(dá)140頁的論文，他的工作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原問題的范圍．英國數(shù)學(xué)家史密斯早在1867年就發(fā)表了有關(guān)的研究結(jié)果，這次他又將自己以往的工作加以完善，圓滿地解決了大獎(jiǎng)所提出的問題．閔科夫斯基是在不了解史密斯以往工作的情況下，獨(dú)立地得到了比史密斯更好的結(jié)果．最后，閔科夫斯基與史密斯同獲1883年的巴黎科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)． 在以后的很長時(shí)間內(nèi)，閔科夫斯基繼續(xù)研究n元二次型的理論．他通過三個(gè)不變量刻畫了有理系數(shù)二次型在有理系數(shù)線性變換下的等價(jià)性，完成了實(shí)系數(shù)正定二次型的約化理論(1905)，現(xiàn)稱閔科夫斯基約化理論．其中，提供了在每個(gè)等價(jià)類(在具實(shí)系數(shù)的變換下)中只給出 所有約化型的基本域是一個(gè)可部分空間，深入研究了該域及其相關(guān)域的性質(zhì)． 當(dāng)閔科夫斯基用幾何方法研究n個(gè)變?cè)亩涡偷募s化問題時(shí)，獲得了十分精采和清晰的結(jié)果．他把用這種方法建立起來的關(guān)于數(shù)的理論稱為“數(shù)的幾何”，這是他最有獨(dú)創(chuàng)性的工作．考慮一個(gè)正定二次型 F(x，y)=ax2+2bxy+cy2， (1) 它的幾何模式是橢圓．(1)式當(dāng)x=p，y=q，(p，q是整數(shù))時(shí)取值m，表明橢圓Em∶F(x，y)=m通過點(diǎn)(p，q)．顯然，Em是一個(gè)中心在原點(diǎn)的橢圓．對(duì)于具三個(gè)變量的二次型 F(x，y，z)= ax2+by2+cz2+＋ a′xy+ b′xz+c′yz， 方程F(x，y，z)=m的幾何模式為中心在原點(diǎn)的橢球．為了證明n元二次型存在最小上界，閔科夫斯基首先建立了一個(gè)普通的幾何引理．對(duì)于二維的情形，閔科夫斯基引理是： 平面xoy上的域R總包含異于原點(diǎn)的整坐標(biāo)點(diǎn)，如果該域滿足條件 (1)域R關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，即它必須同時(shí)含有(x，y)和-x，-y)； (2)域R是凸的，即如果(x1，y1)，(x2，y2)為R內(nèi)任兩點(diǎn)，那么包含這兩點(diǎn)的線段 (λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2)(0≤λ≤1) 也在R內(nèi)； (3)R的面積大于4． 任何中心在原點(diǎn)的橢圓都滿足條件(1)，(2)，而當(dāng)mπ＞4 閔科夫斯基建立的這個(gè)引理十分重要，后來被稱為“數(shù)的幾何中的基本定理”，“全部數(shù)的幾何都基于這個(gè)引理”．利用這一引理， 閔科夫斯基首先證明給定判別式D的二元正二次型存在最小上界．考慮橢圓Em∶F(x，y)=m，為了求出所有m的最小值M，閔科夫斯基注意到(利用引理)，對(duì)于足夠小的正數(shù)α，橢圓Eα內(nèi)不包含任何異于 得到彼此相離的無窮多個(gè)橢圓(圖1)．當(dāng)α增大并達(dá)到最小值M時(shí)，這些橢圓將相互接觸但不重疊(圖2)．設(shè)A是 述所有橢圓包含在中心在原點(diǎn)，邊長為(2n+1+c)的正方形中(圖 2)，即有不等式 這個(gè)結(jié)果還可以拓廣到任意有限維空間(對(duì)n元正二次型)．對(duì)于n維空間，閔科夫斯基引理可敘述為：如果每一個(gè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱凸體，其體積大于2n，則除原點(diǎn)之外，至少還有另一個(gè)整點(diǎn)在其中．利用Г函數(shù)的漸近表達(dá)式，閔科夫斯基得到下列估計(jì)式： 閔科夫斯基發(fā)現(xiàn)，在上述的幾何論證中，橢圓可以用任意對(duì)稱的凸曲線來代替，在高維空間中，則可用對(duì)稱凸體來代替．通過凸體變化的精巧性，他在數(shù)論的各領(lǐng)域中又得到許多新的結(jié)果．例如，他建立了具給定判別式的整數(shù)二次型類數(shù)的有限性定理，研究了實(shí)數(shù)的有理分?jǐn)?shù)逼近法和代數(shù)單位理論．他的幾何方法推動(dòng)了連分?jǐn)?shù)理論的發(fā)展，他建立的一種算法已成為判斷一個(gè)數(shù)是否為代數(shù)數(shù)的準(zhǔn)則．此外，他還在n維空間中定義了支撐超平面和支撐函數(shù)的概念，證明了凸體在其任一邊界點(diǎn)處存在支撐超平面． 閔科夫斯基通過n維空間中的對(duì)稱凸體定義了一種新的“距離”：對(duì)于點(diǎn)x=(x1；x2，…，xn)和y=(y1，y2，…，yn)定義其距離為 由此得到著名的閔科夫斯基不等式(即三角不等式)①： 其中ak，bk(k= 1，2，…，n)為非負(fù)實(shí)數(shù)，r＞1．閔科夫斯基由此確立相應(yīng)的幾何，建立一種類似于現(xiàn)代度量空間的理論．他的工作為20世紀(jì)20年代賦范空間理論的創(chuàng)立鋪平了道路． 為了研究凸體幾何，閔科夫斯基還引進(jìn)幾個(gè)凸體“混合體積”(mixed volume)的概念．設(shè) K1，K2，K3是空間中三個(gè)凸體，t1，t2，t3≥0是三個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)xj在凸體Kj(j=1， 2， 3)中變化時(shí)，點(diǎn)t1x1+t2x2+t3x3形成一個(gè)新的凸體，記為 t1K1+t2K2+t3K3． 這個(gè)新的凸體的體積可以表示為t1，t2，t3的一個(gè)齊次多項(xiàng)式，而混合體積V(K1，K2，K3)則定義為該多項(xiàng)式中t1t2t3項(xiàng)的系數(shù)．閔科夫斯基發(fā)現(xiàn)了這些新量之間的奇妙關(guān)系和更典型的概念：如果K1是半徑為1的球，則V(K1，K，K)等于包圍K的凸曲面面積的三分之一；而V(K1，K1，K)等于該曲面曲率的平均值的三分之一．他還證明了兩個(gè)混合體積間的不等式 [V(K1，K2，K3)]2 ≥V(K1，K1，K3)·V(K2，K2，K3)． 由此他給出一個(gè)關(guān)于球的等周性的非常簡單的新證明．作為混合體積和支撐超平面的一個(gè)美妙應(yīng)用，他證明了有m個(gè)面的凸多面體完全由它各面面積及其之間的距離所確定．他還由此構(gòu)造出具有常寬(度)的所有凸體． 1896年，閔科夫斯基出版了專著《數(shù)的幾何》(Geometrie derZahlen，Leipzing)，其中系統(tǒng)地總結(jié)了他在這一領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作．在以后的論著中，他繼續(xù)把自己在這方面的結(jié)果應(yīng)用于數(shù)論的不同領(lǐng)域，特別是推廣和明確了П．Л．切比雪夫(ЧeбьI(lǐng)шeB)和埃爾米特的不等式．切比雪夫在1866年的論文“一個(gè)算術(shù)問題”(Oб oдHoM apифMeT-ичecKoM Boпpoce)中證明，存在無窮多對(duì)整數(shù)x，y，滿足不等式 埃爾米特在1880年改進(jìn)了上述結(jié)果，得到 閔科夫斯基在他的《丟番圖逼近》(Diophantische Approximati－onen， Leipzig， 1907)[5]一書中，證明了存在無窮多對(duì)整數(shù)x，y，滿足不等式 此處ξ0，η0為任意給定的數(shù)值，α，β，γ，δ為實(shí)數(shù)． 閔科夫斯基早年就對(duì)數(shù)學(xué)物理有強(qiáng)烈興趣，在波恩大學(xué)任職期間，他曾協(xié)助物理學(xué)家H．赫茲(Hertz)研究電磁波理論．1905年以后，他幾乎把所有精力都用在研究電動(dòng)力學(xué)上．在他的倡導(dǎo)下，他和希爾伯特聯(lián)合主持的討論班的主要課題就是運(yùn)動(dòng)物體的電動(dòng)力學(xué)．1908年，閔科夫斯基在科隆舉行的德國科學(xué)家和醫(yī)學(xué)協(xié)會(huì)年會(huì)上，以“時(shí)間和空間”為題報(bào)告了他在電動(dòng)力學(xué)方面研究的新結(jié)果．他放棄了H．A．洛倫茨(Lorentz)和A．愛因斯坦(Einstein)在相對(duì)論原理中作為分離的實(shí)體而使用的時(shí)間和空間概念，提出四維的時(shí)空結(jié)構(gòu)，即通過 ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2(c為光速) 為狹義相對(duì)論提供了四維時(shí)空的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．這種結(jié)構(gòu)后來被稱為“閔科夫斯基世界”．據(jù)此，同一現(xiàn)象的不同描述能用簡單的數(shù)學(xué)方式表出．諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者M(jìn)．波恩(Born)曾說，他在閔科夫斯基的工作中找到了“相對(duì)論數(shù)學(xué)的整個(gè)武器庫”．也正是由于閔科夫斯基的工作，愛因斯坦才有可能奠定廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)． 閔科夫斯基生命雖短，成就豐碩．他一生共發(fā)表29種論著，其中包括二次型理論、數(shù)的幾何、凸體的幾何學(xué)和數(shù)學(xué)物理等方面．1911年，由希爾伯特主編，出版了閔科夫斯基的全集．閔科夫斯基一生勤勉、刻苦，熱愛科學(xué)，“科學(xué)無時(shí)無刻不引起他的興趣，永遠(yuǎn)不會(huì)使他疲倦”[8]．他一生最親密和最可信賴的朋友希爾伯特評(píng)價(jià)說，閔科夫斯基的氣質(zhì)尤如銅鐘的音響，他在工作時(shí)的愉快和性格之開朗是那樣清澈透明；他的堅(jiān)定和忠誠是那樣完全徹底；他那理想主義的抱負(fù)和生活信念是那樣純正無雜． |
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