【原】弦的自由振動(dòng)：通解

cosmos2062 2022-07-14 發(fā)布于廣東

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對(duì)一根兩端固定的弦的波動(dòng)方程分離變量并求解本征值問(wèn)題后，接著就可以求解時(shí)間演化方程了。時(shí)間演化方程是這樣的：

將本征值的表達(dá)式代入時(shí)間演化方程中：

這個(gè)方程的解具有以下形式：

滿足偏微分方程和邊界條件的特解這樣構(gòu)成：

一般說(shuō)來(lái)，單獨(dú)一個(gè)特解不一定滿足初始條件。由于波動(dòng)方程是線性的和齊次的，因此，可以將所有特解做線性疊加構(gòu)成通解：

通解必定滿足初始條件：

為了確定通解中的疊加系數(shù)，需要用到本征函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同本征值的本征函數(shù)是正交的。所謂兩個(gè)本征函數(shù)正交指的是，如果 m≠n，則有

如果 m=n，則上述積分給出一個(gè)不為零的結(jié)果：

用

表示上述積分，稱之為本征函數(shù)的模方。這個(gè)結(jié)果顯示，只要在原來(lái)的本征函數(shù)前面除以它的模方的開平方，就可以構(gòu)造一個(gè)新的本征函數(shù)，使這個(gè)新的本征函數(shù)的模方等于1。這個(gè)性質(zhì)稱為本征函數(shù)的歸一性。

為了今后理論推導(dǎo)的方便，可以將本征函數(shù)的正交歸一性統(tǒng)一寫成：

利用本征函數(shù)的正交歸一性可以確定一般解中的疊加系數(shù)。具體的求解程序是：在決定某個(gè)系數(shù)的那個(gè)初條件等式的兩邊同乘以一個(gè)具有確定本征值的本征函數(shù)并沿整根弦對(duì)自變量求定積分：

在進(jìn)行上述積分的時(shí)候，由于積分與求和是獨(dú)立的，因此可以互換運(yùn)算次序；等式右邊的初條件函數(shù)是一個(gè)由實(shí)際物理環(huán)境決定的已知函數(shù)，因而積分總是可以做出來(lái)的。于是，通解中的一個(gè)疊加系數(shù)就可以通過(guò)以下公式求出：

通解中的另一個(gè)疊加系數(shù)也可以用相同的方法求得：

由此得到

現(xiàn)在來(lái)看特解的物理意義。為了后面推導(dǎo)中書寫方便，引入以下兩個(gè)符號(hào)來(lái)代表公式中的那些復(fù)雜的常數(shù)組合：

并且對(duì)疊加系數(shù)做如下變換：

對(duì)應(yīng)于某個(gè)本征值的特解就可以寫成

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)特解正是兩端固定的弦產(chǎn)生的一種可能的駐波。這樣，整個(gè)問(wèn)題的解，也就是通解，就是所有這些可能的駐波的線性疊加。

以上我們以一根兩端固定的弦的自由振動(dòng)為例，給出了用分離變量法求解偏微分方程的基本程序。從數(shù)學(xué)上看，熱傳導(dǎo)問(wèn)題、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的問(wèn)題有類似的偏微分方程、邊界條件和初始條件，也可以用分離變量法進(jìn)行求解。