偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。

弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。

弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。

用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數(shù)學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

拿上面所舉的弦振動的例子來說，對于同樣的弦的弦樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同，因此產生后來的振動情況也就不同。

天文學中也有類似情況，如果要通過計算預言天體的運動，必須要知道這些天體的質量，同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個起始時間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學物理方程的時候，總會有類似的附加條件。

就弦振動來說，弦振動方程只表示弦的內點的力學規(guī)律，對弦的端點就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問題。當然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”如定場問題（靜電場、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒有邊界條件的問題”如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無邊界的弦了。在數(shù)學上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問題的依據；

定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問題，分離變數(shù)法可以求解無界空間的定解問題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學物理方程的定解。對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進行反演就可以了。

應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數(shù)方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質不同，但是抽象地表示在數(shù)學上是同一個定解問題，如研究某個不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問題，在數(shù)學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩(wěn)恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場中的溫度分布問題。

隨著物理科學所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數(shù)學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展。從這個角度說，偏微分方程變成了數(shù)學的中心。

篇幅有限，還有一些大的數(shù)學分支尚未介紹，比如分析學（實分析，復分析，調和分析），隨機數(shù)學等，具體到應用數(shù)學的二級分支，均未涉及到。