朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands Program ）為數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域提供了一套精美錯(cuò)綜復(fù)雜的連接，為老問(wèn)題的新解決方案指明了道路。

作者：數(shù)學(xué)家Alex Kontorovich 2022-6-2 譯者：zzllrr小樂(lè) 2022-6-2

亞歷克斯·康托羅維奇（Alex Kontorovich）是羅格斯大學(xué)（Rutgers University）的數(shù)學(xué)教授，也是紐約市國(guó)家數(shù)學(xué)博物館（National Museum of Math）2020-21年度數(shù)學(xué)公開(kāi)傳播杰出客座教授。他是美國(guó)國(guó)家科學(xué)院的Kavli研究員，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的會(huì)員，以及美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)2014年Levi L. Conant獎(jiǎng)的獲得者。他還擔(dān)任《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》雜志的主編。

不久前，我被要求在一條推文中解釋所謂的朗蘭茲綱領(lǐng)。我立刻想到，這不可能。它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最大，最全面的項(xiàng)目之一，能夠連接遙遠(yuǎn)的研究領(lǐng)域，自然極難描述。

但后來(lái)我想起了一個(gè)故事，一個(gè)學(xué)生要求偉大的塔木德圣人大希勒爾（猶太教）單腳立地站著解釋整本圣經(jīng)《妥拉》。得到的回答說(shuō)：“你自己不喜歡的，不要強(qiáng)加給你的鄰居（己所不欲，勿施于人），這就是全部的圣經(jīng)，余下的全是評(píng)注?！碑?dāng)然，你可以在圣經(jīng)中找到比這更多的智慧，可以花一輩子的時(shí)間研究這些評(píng)注。但對(duì)大希勒爾來(lái)說(shuō)，這就是啟動(dòng)這一切的核心。朗蘭茲有類似物嗎？我不是希勒爾，但盡我所能如下：

考慮函數(shù)（如圖）：

如果你還不認(rèn)出這些分母，它們其實(shí)就是奇數(shù)的階乘。階乘是小于或等于給定數(shù)字的所有正整數(shù)的乘積，由感嘆號(hào)表示。例如，3! = 1 × 2 × 3 = 6 和 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120。

希望現(xiàn)在的模式是明確的：要獲得序列中的下一個(gè)多項(xiàng)式，只需添加或減去（以交替方式）x的下一個(gè)奇數(shù)冪，然后除以該冪的階乘。請(qǐng)注意，與任何多項(xiàng)式一樣，當(dāng) x 變?yōu)檎裏o(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大（分別向右或向左）時(shí)，函數(shù)要么爆炸到（正）無(wú)窮大，要么跳到負(fù)無(wú)窮大。但盡管如此，在原點(diǎn)周圍的某些區(qū)域，函數(shù)的行為開(kāi)始穩(wěn)定下來(lái)。它很快變成一條有規(guī)律的擺動(dòng)曲線，似乎在?1和1之間。

當(dāng)我們把這個(gè)函數(shù)序列引到它的邏輯結(jié)論，忽略關(guān)于這實(shí)際上是否可以完成（事實(shí)上是可以的）的各種重要問(wèn)題時(shí)，我們得到無(wú)窮級(jí)數(shù)

事實(shí)證明，這是寫(xiě)三角學(xué)中的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的另一種方法。而正弦函數(shù)（sine function）也可以理解為粘貼到一個(gè)旋轉(zhuǎn)圓的邊緣的一個(gè)點(diǎn)的高度，它隨著時(shí)間的推移上下起伏。至關(guān)重要的是，如果將圓旋轉(zhuǎn)2π弧度（一次完整的旋轉(zhuǎn)），那么這個(gè)圓將再次開(kāi)始相同的擺動(dòng)。這意味著正弦函數(shù)和上面的無(wú)窮級(jí)數(shù)具有特殊的對(duì)稱性：如果將輸入改變2π，則該函數(shù)就會(huì)重復(fù)。即

對(duì)于所有x，有F∞(x+2π)=F∞(x)

如果這對(duì)你來(lái)說(shuō)不是一個(gè)壯觀的奇跡，那么你沒(méi)有仔細(xì)觀察。所有這些多項(xiàng)式的系數(shù)僅由奇數(shù)階乘分母及其交替符號(hào)組成。誰(shuí)邀請(qǐng)了2π參加派對(duì)？我們看到的第一個(gè)多項(xiàng)式都沒(méi)有這種平移對(duì)稱性 - 它只出現(xiàn)在無(wú)窮大處。我們將看到，這種在極限中出人意料的對(duì)稱性的出現(xiàn)是支撐朗蘭茲綱領(lǐng)的關(guān)鍵見(jiàn)解。

正弦函數(shù)是我們數(shù)學(xué)家更普遍地稱之為自守函數(shù)（automorphic function）的基本例子：當(dāng)我們通過(guò)某個(gè)過(guò)程（本例中，滑動(dòng)2π）改變（變形）變量時(shí)，函數(shù)會(huì)變回自身（因此是“自動(dòng)”形態(tài)）。

今天我們知道許多技術(shù)可以揭示這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的自同構(gòu)。例如，我們可以從正弦函數(shù)本身開(kāi)始，而不是從所有這些多項(xiàng)式開(kāi)始。然后，它在平移下的不變性是重言式的，遵循基本定義，我們只需要將正弦函數(shù)連接到多項(xiàng)式序列。后者是一個(gè)稱為泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的一般過(guò)程，在正弦函數(shù)的情況下，它給出了上面討論的多項(xiàng)式。（即使沒(méi)有任何對(duì)正弦函數(shù)的引用，也可以使用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明這種自守，導(dǎo)數(shù)是一種測(cè)量函數(shù)局部變化程度的方法）。

那么什么是朗蘭茲綱領(lǐng)呢？它預(yù)測(cè)由某些（無(wú)限）序列定義的對(duì)象，所具有的“額外”的不明顯的對(duì)稱性（即自守）。這是盡我所能的解釋了（單腳立地，像大希勒爾那樣）！

現(xiàn)在，正如本文隨附的視頻所討論的那樣（https:///_bJeKUosqoY），數(shù)學(xué)家們不僅僅是對(duì)證明這些對(duì)稱性感興趣（盡管這肯定已經(jīng)足夠了），因?yàn)榇蠖鄶?shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為它們美麗而重要。這些對(duì)稱性具有令人難以置信的結(jié)果，以及用于其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用，例如費(fèi)馬大定理（FLT）的完整解決。

以下是這些對(duì)稱性如何幫助解決另一組被稱為拉馬努金猜想的問(wèn)題，這些問(wèn)題在最一般的形式下至今仍未解決。

拉馬努金猜想說(shuō)了一些非常粗略的東西，就像下面這樣。如果你有一個(gè)由某個(gè)系數(shù)序列給出的自守函數(shù)，如下所示：

G(x)=a?+a?x+a?x2+a?x3+…

那么所有的系數(shù)——所有的a——都以1為界（絕對(duì)值不超過(guò)1），這意味著它們的值都在?1和1之間。

不過(guò)，我們也無(wú)法證明這一點(diǎn)。我們能做的最好的事情就是將這些系數(shù)限制在10（以內(nèi)），這是一個(gè)相當(dāng)弱的信息，而且似乎幾乎毫無(wú)用處。

但這就是朗蘭茲的用武之地。如果綱領(lǐng)的一個(gè)猜想部分，稱為函子性（functoriality），是正確的（正如數(shù)學(xué)家所懷疑的那樣），那么我們可以完全證明拉馬努金猜想。函子性聲稱我們可以從G（x）中產(chǎn)生新的自守函數(shù)，只需將所有系數(shù)提高到任何固定的整數(shù)冪。（實(shí)際上，這個(gè)過(guò)程要復(fù)雜得多，但讓我們繼續(xù)得到這個(gè)想法。）因此，給定 G（x） 是自守的，函子性猜想函數(shù)

G?(x)=a?2+a?2x+a?2x2+a?2x3+…

也應(yīng)該是自同構(gòu)的。由于這個(gè)看似無(wú)用的結(jié)果，我們可以證明任何自同構(gòu)函數(shù)的系數(shù)都是以10為界的，我們現(xiàn)在可以證明G?的系數(shù)- 即G系數(shù)的平方 - 也以10為界。如果G系數(shù)的平方以10為界，則系數(shù)本身以10的平方根為界，約為3.16。多虧了朗蘭茲提供的聯(lián)系，我們大大提高了對(duì)邊界的了解！

但函子性并不止于此。它還預(yù)測(cè)系數(shù)是 G 系數(shù)立方的函數(shù)也是自守的：

G?(x)=a?3+a?3x+a?3x2+a?3x3+…

如果為真，則G的系數(shù)實(shí)際上以10的立方根（約2.15）為界，而不僅僅是其平方根。對(duì)于所有這些“函子提升”，依此類推：

Gk(x)=a??+a??x+a??x2+a??x3+…

現(xiàn)在你看到拉馬努金猜想怎么處理了吧？對(duì)于一個(gè)巨大的數(shù) k，10 的k次方根越來(lái)越接近 1。所以，如果你知道所有這些函子提升確實(shí)是自守的，正如朗蘭茲所預(yù)測(cè)的那樣，你就解決了拉馬努金猜想。多么聰明的把戲！

我們?cè)谶@里的討論只是朗蘭茲綱領(lǐng)的冰山一角。我省略了L-函數(shù)，動(dòng)形（motive，數(shù)學(xué)家Grothendieck定義），跡公式（trace formulas），伽羅瓦表示（Galois representations），類域論（class field theory）以及過(guò)去半個(gè)世紀(jì)以來(lái)圍繞該綱領(lǐng)構(gòu)建的各種驚人的數(shù)學(xué)。如果你對(duì)這些事情感興趣，我鼓勵(lì)你進(jìn)一步研究它們——就像大希勒爾希望他的答案也能激勵(lì)提問(wèn)者繼續(xù)學(xué)習(xí)一樣。