撰文：吳峙佑

故事要從歐拉開始，歐拉考慮了函數(shù)：

并證明了其在 s = 2 點(diǎn)的值：

之后黎曼在其著名的論文中提出這一函數(shù)滿足：

① 其具有表達(dá)式：

② 其在 1-s 和 s 的值具有對(duì)稱性，滿足一定函數(shù)方程；

③ 其非平凡零點(diǎn)分布在直線 Re(s)=1/2 上。

① 和 ② 很容易用初等方法證明，③ 則是著名的黎曼假設(shè)——作為數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)的問題之一。這一函數(shù)，現(xiàn)在通常稱之為黎曼ζ函數(shù)(Riemann zeta function)，其實(shí)是某一類函數(shù)的特殊情形，我們稱之為L函數(shù)，我們猜測(cè)它們都具有類似 ①、② 和 ③ 的性質(zhì)，同時(shí)它們?cè)谔厥恻c(diǎn)的值有類似歐拉的表達(dá)式。這一模糊的表述看似初等，實(shí)質(zhì)上深刻無比，它包含了美國克萊研究所于21世紀(jì)初提出的七個(gè)千禧年百萬問題中的三個(gè)——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想(BSD)，霍奇猜想(Hodge conjecture)和黎曼猜想(Riemann Hypothesis)，以及許多其他同樣著名的猜想。這一表述的背后，隱藏了一系列無比宏偉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)幫助我們澄清并理解問題的涵義，同時(shí)提供了強(qiáng)有力的解決工具，對(duì)很多人來說它們比問題本身更加迷人。

大體上來說，我們有兩種不同起源的 L 函數(shù)，我們稱之為 Motivic L 函數(shù)和自守 L 函數(shù)。

我們先解釋 Motivic L 函數(shù)，它們起源于數(shù)論和代數(shù)幾何。代數(shù)數(shù)論的一個(gè)核心問題是求解整數(shù)系數(shù)的一元多項(xiàng)式方程，對(duì)于每一個(gè)素?cái)?shù)p我們可以考慮模p的情形并得到有限域上的一元多項(xiàng)式方程，我們?cè)瓌t上可以很容易地求解，模p的解如何聯(lián)系于整數(shù)解是一個(gè)數(shù)論的重要問題。高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)的著名二次互反律(Law of Quadratic Reciprocity)即為此問題在一元二次多項(xiàng)式的特殊情形的解。

20世紀(jì)初的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)——類域論(Class field theory)，對(duì)于更大一類的一元多項(xiàng)式方程解決了這一問題。這一類方程并不是由多項(xiàng)式的次數(shù)限定的，而是取決于方程的內(nèi)蘊(yùn)對(duì)稱性，更加精確地說，它的伽羅瓦群(Galois group)。伽羅瓦在19世紀(jì)初的革命性工作首次引進(jìn)了群論，并利用它來精確地度量多項(xiàng)式的對(duì)稱性，我們第一次能夠繞開繁瑣的計(jì)算，用更深層次的抽象性質(zhì)去處理表面更加具體的問題，它標(biāo)志著現(xiàn)代代數(shù)的開端。一元多項(xiàng)式的復(fù)雜性在于伽羅瓦群的復(fù)雜性，而類域論處理了交換伽羅瓦群的情形，非交換的情形要復(fù)雜的多，它是現(xiàn)代朗蘭茲綱領(lǐng)(Langlands program)的一個(gè)重要目標(biāo)。

對(duì)于每一個(gè)一元多項(xiàng)式我們可以定義L函數(shù)，它們通常叫做戴德金ζ函數(shù)(Dedekind zeta function)，黎曼 ζ 函數(shù)則是一元一次多項(xiàng)式的特殊情況。它們可以初等地證明滿足 ① 和 ②。一個(gè)自然的推廣是考慮多元多項(xiàng)式的情況，這里我們進(jìn)入了代數(shù)幾何的領(lǐng)域。多項(xiàng)式的零點(diǎn)定義了一個(gè)幾何對(duì)象，我們稱之為代數(shù)簇(Algebraic variety)，對(duì)于它們的研究我們通常稱為代數(shù)幾何。

代數(shù)幾何作為一門古老的學(xué)科在20世紀(jì)經(jīng)歷了蔚為壯觀的發(fā)展，20世紀(jì)初期意大利學(xué)派對(duì)代數(shù)曲面的研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)展，然而其不嚴(yán)格的基礎(chǔ)促使奧斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski) 和 安德烈·韋伊(André Weil)重構(gòu)了整個(gè)代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，韋伊更是指出了代數(shù)幾何和數(shù)論與拓?fù)渲g的驚人聯(lián)系，之后亞歷山大·格羅滕迪克(Alexander Grothendieck)為了理解韋伊的猜想更進(jìn)一步用更抽象本質(zhì)的方法重新構(gòu)建了代數(shù)幾何的基礎(chǔ)并引進(jìn)了一系列強(qiáng)大的工具，特別是他的上同調(diào)理論(cohomology)，最終導(dǎo)致了皮埃爾·德利涅(Pierre Deligne)完整證明了韋伊猜想并因此得到了菲爾茲獎(jiǎng)。

我們要重點(diǎn)提格羅滕迪克的上同調(diào)理論，其根植于代數(shù)拓?fù)?/strong>，格羅滕迪克同時(shí)構(gòu)造了一系列上同調(diào)理論，它們具有非常類似的性質(zhì)，但卻起源于非常不同的構(gòu)造，格羅滕迪克試圖尋找出它們的共同本質(zhì)并由此提出了Motive理論。這一理論并不完整，因?yàn)樗谝幌盗胁孪?，格羅滕迪克稱之為標(biāo)準(zhǔn)猜想。如果標(biāo)準(zhǔn)猜想被證明，我們就能得到一套非常漂亮的理論，它導(dǎo)出了所有上同調(diào)，同時(shí)我們能證明一系列表面無關(guān)的問題。著名的百萬問題之一霍奇猜想的重要性就在于它能導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)猜想。

每一個(gè)Motivic L 函數(shù)都是由Motive給出的，對(duì)于這些函數(shù)，① 很容易驗(yàn)證，但是 ② 我們還無法證明一般情況， 一個(gè)已知例子是有理數(shù)上橢圓曲線的情形， 安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)關(guān)于費(fèi)馬大定理的證明的一個(gè)推論 (谷山-志村猜想，完整情形于01年由懷爾斯的幾位學(xué)生證明)。對(duì)于幾乎所有 L 函數(shù) ③ 都是未知的，唯一的例外是Motive在有限域的情形，③ 即是德利涅所證明的韋伊猜想。

對(duì)于Motivic L 函數(shù)的特殊值的問題，我們需要Motive的一個(gè)推廣，我們稱之為mixed motive, 這是一個(gè)更加龐大但更加遙遠(yuǎn)的夢(mèng)想，我們完全不知道如何構(gòu)造它。它的存在能夠推導(dǎo)出一系列及其漂亮的等式，推廣歐拉對(duì)于黎曼ζ的公式，著名的貝林森猜想(Beilinson conjecture)， 百萬問題之一的BSD等都屬此類。雖然我們無法構(gòu)造mixed motive，卻能夠構(gòu)造它的一個(gè)弱化變形，我們稱之為導(dǎo)出范疇， 弗拉基米爾·沃埃沃德斯基(Vladimir Voevodsky)給出了這樣一個(gè)構(gòu)造從而獲得了2002年的菲爾茲獎(jiǎng)。

Motive是比 L 函數(shù)更本質(zhì)的存在，但是我們很難直接計(jì)算它，替代的辦法是考慮Motive的不同表達(dá)。每一個(gè)Motive都能給出一系列伽羅瓦群的表示以及復(fù)幾何中的霍奇結(jié)構(gòu)，它們完全決定了 L 函數(shù)，因而考慮它們是更根本的問題。我們已經(jīng)看到類域論解決了交換伽羅瓦群的情形，一個(gè)簡(jiǎn)單但卻根本的想法是群的表示比群本身更加基本，因而我們需要考慮的不是伽羅瓦群本身，而是它的表示，這樣所有的交換伽羅瓦群就等價(jià)于一維的伽羅瓦表示，而非交換的就等價(jià)于高維的表示。為了能夠理解它們，我們必須考慮它們的內(nèi)在對(duì)稱性，令人驚訝的是，這些對(duì)稱性很大程度上來源于一類完全不同的數(shù)學(xué)對(duì)象-----自守形式。

自守形式的起源可以追溯到19世紀(jì)，Klein和昂利·龐加萊(Henri Poincaré)是這一方向的先驅(qū)者。然而如果我們?cè)偻翱矗屑?xì)閱讀黎曼關(guān)于ζ函數(shù)的性質(zhì) ② 的證明，就會(huì)發(fā)現(xiàn)他實(shí)質(zhì)上使用了一種非常特殊的自守形式的對(duì)稱性，我們現(xiàn)在稱之為權(quán)1/2的模形式。實(shí)際上幾乎所有的已知的關(guān)于性質(zhì) ② (整體域上的L函數(shù))的證明都使用了自守形式，我們猜測(cè)motivic L 函數(shù)都能從某類自守形式構(gòu)造，這一大膽的猜測(cè)起源于志村五郎和谷山豐對(duì)于橢圓曲線的特殊情況，之后由朗蘭茲推廣到一般情況，亦即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中如雷貫耳的朗蘭茲綱領(lǐng)。

志村五郎的方法很大程度上是來源于代數(shù)幾何，他從具體計(jì)算中看到了一些精致的特殊結(jié)構(gòu)，他的方法太過具體以至于很難直接推廣到一般情況。朗蘭茲的洞見在于看出了這些結(jié)構(gòu)背后的表示論內(nèi)核，他系統(tǒng)將代數(shù)群的無窮維表示引進(jìn)到數(shù)論中，找到了一個(gè)非常一般的全局性綱領(lǐng)，近五十年來它吸引了無數(shù)最杰出的學(xué)者。

通常認(rèn)為朗蘭茲綱領(lǐng)由兩部分組成，第一部分稱為互反猜想，它描述了數(shù)論與表示論的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最一般的猜測(cè)是Motive是等價(jià)于相當(dāng)一部分自守形式的，特別的它指出伽羅瓦表示應(yīng)該等價(jià)于代數(shù)群的表示，因而motivic L 函數(shù)等價(jià)于自守 L 函數(shù)。第二部分稱之為函子性猜想，它描述了不同群之間的表示的聯(lián)系。這一綱領(lǐng)意義深遠(yuǎn)，它可以對(duì)最一般的 L 函數(shù)證明②，并且導(dǎo)出一系列困難的猜想，如阿廷猜想。

經(jīng)過幾十年的努力，我們對(duì)這一綱領(lǐng)的理解有了很大進(jìn)展，杰出的代表性學(xué)者包括菲爾茲獎(jiǎng)得主弗拉基米爾·德林費(fèi)而德(Vladimir Drinfeld)，洛朗·拉福格(Laurent Lafforgue)和吳寶珠，不過距離完整的綱領(lǐng)仍然非常遙遠(yuǎn)。必須要提的是，朗蘭茲綱領(lǐng)的范圍還在不斷擴(kuò)展，類比經(jīng)典的綱領(lǐng)，我們發(fā)展出了幾何朗蘭茲，p-adic朗蘭茲，甚至物理上愛德華·威滕(Edward Witten)都提出了類似的朗蘭茲對(duì)偶，它們牽涉到了非常不同的領(lǐng)域，使用非常不同的方法，但是它們都展現(xiàn)出了極深層次的相似性，從不同的角度豐富了綱領(lǐng)本身。一個(gè)最新的值得一提的進(jìn)展來自彼得·舒爾茨(Peter Scholze)正在進(jìn)行的工作，他利用由他發(fā)展的p-adic幾何類比函數(shù)域的情形去證明局部數(shù)域的情形。

我們非常粗糙地回顧了一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)，特別是算術(shù)幾何領(lǐng)域的重要問題，從現(xiàn)在來看，幾乎所有以上提到的猜想都還非常遙遠(yuǎn)(也許BSD是個(gè)例外)，每一個(gè)也許都足以耗盡一個(gè)人畢生精力，然而正是其困難和深刻吸引了無數(shù)人。某種程度上，數(shù)學(xué)家和探險(xiǎn)家是一類人。