2021年湖南婁底的這道中考數(shù)學壓軸題是按難題的方向去設計的，是一道拋物線上的最小距離和菱形存在性的探索問題。題型也十分常見，不過結果比較少見。因為涉及特殊四邊形的存在性問題，一般結論都是存在的，但這道題的結果卻是不存在的。不過只要方法用得好，這道題還是可以輕松解決的。

如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)y=x^2+bx+c的圖像與x軸相交于點A(-1,0)和點B(3,0)，與y軸交于點C.

(1)求b、c的值；

(2)點P(m,n)為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線l:y=x于點Q.

①當0<m<3時，求當P點到直線l:y=x的距離最大時m的值；

②是否存在m，使得以點O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值.

分析：(1)利用韋達定理，優(yōu)于列二次方程組求解?？聪旅娴慕忸}過程，你就會明白了。

(2)只要過P點與l平行的直線與拋物線只有一個公共點，P點到直線l的距離就最大。所以其本質上是求二次方程的判別式等于0時的m值。

(3)分成PQ是對角線或邊兩種情況去討論。很明顯地，PQ不可能是對角線。而PQ是邊時，又有兩種情形。當OQ是邊時，易證OQ等于OC時，PQ不等于OC，所以這種情形下，不構成菱形；當OQ是對角線時，根據(jù)對角線OQ和CP互相垂直，求得m值。又檢驗OQ和CP的中點不是同一個點，即對角線不互相平分，所以這種情形下，也構不成菱形。從而可知，符合條件的菱形是不存在的。其思路是：先根據(jù)菱形的一個性質，求m值，再證明m值不符合菱形的另一個性質。

下面組織解題過程：

解：(1)-b=-1+3=2，b=-2，c=-3. 【韋達定理：x1+x2=-b/a=-b; x1x2=c/a=c】

(2)①n=m^2-2m-3, 記過P的直線：y=x-m+n=x+m^2-3m-3，【運用了直線的點斜式】

當x+m^2-3m-3=x^2-2x-3, 即x^2-3x-m^2+3m=0，【就是直線與拋物線相交時】

且9-4(-m^2+3m)=0時，解得：m=3/2，【判別式等于0，即只有一個交點時】

此時，P到l距離最大. 【題目并沒有要求求出這個最大值】

②∵PQ//OC，∴PQ不是對角線；

當OQ=OC時，m=3根號2/2；【這里運用了等腰直角三角形斜邊和直角邊的關系】

QP=m-(m^2-2m-3)≠OC；【說明這種情形下，不構成菱形。沒有必要把QP的值求出來，因為從關于m的表達式，以及m此時的取值是一個無理數(shù)，可以知道QP的值也是一個無理數(shù)】

當OQ⊥CP時，(m^2-2m-3-(-3))/m=-1, 解得m=1,【兩條直線互相垂直，斜率的積等于-1】

又O, Q的中點坐標為(1/2,1/2), C, P的中點坐標為(1/2,-7/2).【運用了中點公式。兩個中點不一致，說明對角線不互相平分，構不成菱形】

∴以點O、C、P、Q為頂點的菱形不存在.

您看明白了嗎？