淺析機器人學位姿之單位四元數(shù)，一文徹底了解四元數(shù)，干貨

taotao_2016 2022-05-07 發(fā)布于遼寧省

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對于機器人姿態(tài)的轉換前面一直介紹歐拉角的方式，其實對于三維坐標的轉換四元數(shù)法和歐拉角用得都比較多，在內部算法里四元數(shù)法占比例更大，歐拉角多用于原理講解！

四元數(shù)是一個復數(shù)，下面就一步一步講解下復數(shù)怎么和坐標系旋轉勾搭上的!

四元數(shù)顧名思義對于旋轉的變換只需要四個參數(shù)，而歐拉角的旋轉矩陣則是3*3的矩陣，有9個元素，所以四元數(shù)法用來優(yōu)化程序，好處顯而易見！

在網(wǎng)上查了一些資料，對于四元數(shù)的講解基本上沒有讓我滿意的，可能是我水平不夠或者思路跟不上！所以我打算自己總結一篇淺顯易懂有不漏知識點的四元數(shù)淺析文章！

四元數(shù)是一個標量加一個向量，標量一個數(shù)，向量三個數(shù)！

首先四元數(shù)是一個復數(shù)，什么是復數(shù)？應該初中還是高中的數(shù)學肯定是學過的，估計大部分人都還給老師了！

復數(shù)

1、概述一下復數(shù)

任意一個復數(shù)z都可以表示為z=a+bi 的形式．我們將a稱之為這個復數(shù)的實部，b稱之為這個復數(shù)的虛部。其中i的平方等于-1！怪不怪！我理解的復數(shù)的發(fā)明就是為了讓它的虛部也能參與運算，因為數(shù)學里有的地方會出現(xiàn)i平方等于-1的情況，如果沒發(fā)明復數(shù)，那么就無法完成計算!

復數(shù)的模長|z|;

模長

它的共（軛）是z1=a-bi；
z*z1=a*a+b*b也就是模長的平方；
加減乘除法則和正常運算一樣，如z1=a+bi，z2=c+di；z1+z2=a+b+bi+di; z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2;

復數(shù)參與運算主要靠上面這幾個關系互相轉換，算到最后可以把虛數(shù)算沒了，就像個中間變量一樣；兔死狗烹，鳥盡弓藏!

2、復數(shù)怎么和旋轉矩陣勾搭上的？

推導

首先寫z1=a+bi，z2=c+di兩個復數(shù)；

z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2

由于i平方等于-1；進而化簡:

z1*z2=ac-bd+adi+bci；

再化簡:

z1*z2=ac-bd+（ad+bc）*i；

寫成矩陣形式

右側的矩陣c d;就是用向量的形式表示z2；為啥呢？因為復數(shù)可以圖像化表示，復數(shù)z=a+bi可以用如下圖表示：

既然右側的列矩陣c d 表示z2，那么復數(shù)z1就是左側的二維矩陣表示的！進而可以推斷出z2的二維矩陣形式；

最終得出，z1*z2就是兩個二維矩陣相乘,如下圖公式：

上面的式子里面i不見了，我們就是當i=1；或者讓矩陣乘以一個二維矩陣，但是結果不變，那么這個矩陣就是如下形式，得出i的二維矩陣形式，后面會用到這個i矩陣：

以上這些公式就可以和旋轉矩陣眉目傳情有點關系了；下面繼續(xù)推導，把復數(shù)z1的矩陣形式再變換一下，就徹底勾搭上了，如下：

配合下面這個圖看一下，就知道為啥徹底勾搭上了：

這不就是三角函數(shù)嗎！

那么上面的公式就可以寫成三角函數(shù)的形式了，加上求模的公式，再加上上面得出的i二維矩陣，最終可以把公式寫成如下形式：

右邊的矩陣就是二維里面的旋轉矩陣了；

左邊的其實就是縮放矩陣；

驗證

實驗一下我們將一個點坐標（1，0），旋轉θ角度，帶入上面這個公式，最終得到如下；

就是對點（1，0）逆時針旋轉了θ角度，然后再縮放|z|倍；同理代入點（1，0）也是一樣的原理，如下圖顯示兩個點的旋轉圖;

如果復數(shù)的模為1，那么就只剩旋轉矩陣了！

總結一下：

如果（模）等于1，復數(shù)z可以寫成如下矩陣形式：

寫成復數(shù)形式就是：

Z=cosθ+sinθ*i；

對比下：

Z=a+b*i；

如此，復數(shù)和旋轉矩陣的關系大家應該知曉了！

數(shù)學真好玩，把兩個不相關的東西硬是緊密的勾搭到了一起，佩服！

單位四元數(shù)（模為1）

概述

四元數(shù)的定義和復數(shù)非常類似，唯一的區(qū)別就是四元數(shù)一共有三個虛部，而復數(shù)只有一個。
四元數(shù)q寫成如下形式：
q=s+v1i+v2j+v3k;
根據(jù)復數(shù)的定義：i平方=j平方=k平方=ijk=-1；
使用的時候把虛部和實部分開，寫成:
q=s+v;

標準里我們把四元數(shù)表示為：