接著就是對五次方程通解的突破。三次、四次都是同時解決，唯獨到了五次方程，韋達之后160余年也沒有人突破。期間包括了著名的歐拉、高斯、拉格朗日、柯西這些數(shù)學史上的神人，都沒有得到最終的答案。

這個答案后來被來自挪威的一名年輕數(shù)學家阿貝爾解決了。阿貝爾是個苦命人——自小就失去父親，母親終日酗酒，家貧，但他的數(shù)學天賦卻得到了學校教師們的一致認可，因此，當時的挪威政府資助他到法國和德國求學。

他利用反證法，證明五次方程沒有代數(shù)解——也就是說，你可以對任何一個五次方程求得數(shù)值的解，但五次方程沒有一個形式通解，即它的解都是一對一的，不能用五次方程的系數(shù)去表達。

阿貝爾在1825年把這個證明過程交給了高斯，高斯當時對此沒有興趣，沒有理會。但另一個德國數(shù)學家克雷爾卻非常重視，自費資助這個年輕人出版了整個證明。這是阿貝爾第一次公開發(fā)表自己的研究成果，也是最后一次。

1829年，阿貝爾在挪威患肺結(jié)核去世，年僅27歲。他去世后沒多久，克雷爾就發(fā)來了柏林大學決定聘請阿貝爾為數(shù)學教授的邀請信。

19世紀初，兩百年前卡爾達諾提出的復數(shù)概念被進一步拓展和深化，成為除解決高次方程通解問題之后的核心問題。

人們開始意識到，復數(shù)的奇妙在于，把數(shù)這個極其抽象的東西變成了一個二維空間里的具象——我們的高數(shù)課本里是以實數(shù)為橫軸，虛數(shù)i為縱軸，構(gòu)成了一個平面空間，0+0i是原點，所有的實數(shù)都不過是虛數(shù)的一種特例，即a+bi當b=0時的特例。

所以，代數(shù)就成了一個數(shù)學空間，一旦明確為數(shù)值，則這個代數(shù)空間就會“坍縮”成一個數(shù)值點！

虛數(shù)到底有啥用？后來量子力學中的波函數(shù)，虛數(shù)就代表光的位相，光的波粒二象性——既是波又是粒子，取決于你怎么觀察——就是通過虛數(shù)來表示的。

這真的就是人類的虛構(gòu)。然而，這個虛構(gòu)打開了關于空間和維度的想象力之窗：任何數(shù)，任何方程，都可以表示為空間中的線段，而且是帶有指向的線段——向量。

數(shù)和方程的計算，也都可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g中向量的疊加運算——比如，兩個方向相反的向量，可以通過一定運算，比如給其中一個向量乘以負數(shù)，把方向變過來，就可以與另一個向量重疊——我們就可以說，這兩個向量是“線性相關”（linearly dependent）；如果兩個向量指向不同的方向，不論怎樣運算也無法重疊為一個方向，那么就是“非線性相關”（non）——我們很容易想象，說明這兩個向量可以構(gòu)成一個平面，這叫共面。

如果這個平面二維空間上有第三個向量，那么就意味著三個向量共面，這第三個向量，就可以由前兩個向量運算得出——就是說共面的三個向量是線性相關的。而如果這三個向量不共面，兩兩構(gòu)成垂直的平面，那么我們就進入到了三維空間，這三個向量就構(gòu)成三維空間的“基”——在這個三維空間中的任意向量，都可以用這三個基本向量運算得出，也就是說，三維空間中的四個向量是線性相關的。

向量空間的可怕在于，它還可以繼續(xù)下去，超出我們具象的四維、五維繼續(xù)下去，只要是一個方程如ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，如果只有當系數(shù)a，b，c，d，e，f都等于0時，上述方程才成立，那么向量x^5，x^4，x^3，x^2，x，f就構(gòu)成了一個六維向量空間，這個空間中任何其他向量都可以用這6個向量來表達，則空間的維度是6。

接著我們還可以想象，那么這些不同維度的空間是否能發(fā)生關系？當然可以。

二維平面的方程，可以通過運算轉(zhuǎn)變?yōu)槿S空間，這叫“線性變換”，也就是二維向量在三維空間中的映射（project）。同樣，三維空間向量也可以通過映射關系變換為二維平面，這就叫“投影”（mapping），所以，高維映射到低維叫“投影”，低維映射到高維叫“嵌入”（embed）。

這能干啥呢？后來的力學空間、張量、量子力學領域就需要大量運用這類數(shù)學工具！

接著就來的新的突破。

蘇格蘭的威廉·漢密爾頓爵士出場了。依然是個神童，十歲就通曉歐洲各國語言，1827年他還剛大學畢業(yè)，就被都柏林三一學院聘為天文學教授！他自小鐘情文學，與威廉·沃茲華斯是密友，后者勸他還是致力于科學，成就會更大。

因為漢密爾頓先是用詩，后來用數(shù)學證明了圓錐折射定理——只要入射角合適，光線經(jīng)過折射會變成一個中空的光錐?！锢憩F(xiàn)象被數(shù)學推導預測出來，這是十九世紀初期的第一批次。

漢密爾頓對虛數(shù)極其感興趣，這就是個天生感興趣于高度抽象世界的人。他發(fā)現(xiàn)從一維的實數(shù)a，拓展到二維的虛數(shù)a+bi，可謂打開一片新的天地，那么為什么不能拓展到三維？

人們都已經(jīng)知道，數(shù)字可以對復數(shù)進行乘除，如復數(shù)（a+bi）與（c+di）可以按照代數(shù)法則和復數(shù)法則進行乘除?！@就是所謂三數(shù)組。這種玩意到底是什么意思？

漢密爾頓天才地發(fā)現(xiàn)，代數(shù)運算乘以虛數(shù)i，意味著幾何運算上的“逆時針轉(zhuǎn)動90°”，所以，某個數(shù)乘以復數(shù)（a+bi）意味著一次轉(zhuǎn)動和一次放大，先乘a放大，再乘bi轉(zhuǎn)動。

這只是在二維平面上的操作，漢密爾頓想到，三數(shù)組可以描述二維平面，那么是否可以進一步描述三維空間？這一苦思就是十年。

因為他遇到了極大的困難，三元數(shù)組幾乎無法找出一個合適的代數(shù)形式來表達。

十年后，1842年10月16日，周一，漢密爾頓路過布魯姆橋的時候，靈感終于出現(xiàn)了——三數(shù)組不夠的話，就再加一個數(shù)進去，變成四數(shù)組。

他把四數(shù)組的計算規(guī)則定義為：i^2=j^2=k^2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。

看到?jīng)]有，其實就可以理解為順時針或逆時針的轉(zhuǎn)動關系。

這套規(guī)則拿出來之后，他的同事們反復測算驗證，發(fā)現(xiàn)一切都沒毛病，但就是無法理解到底是什么意思。而且，漢密爾頓自己也很驚詫——如果這樣也可以的話，我真不知道我們創(chuàng)造數(shù)字的自由度能有多大。

如果四數(shù)組描述三維空間，那么第四個數(shù)到底是干嘛用的？漢密爾頓自己認為，第四個數(shù)當然是描述第四維時間的。——由此他又無意中成為第一個把空間與時間合二為一的科學家——個人認為跟他的詩人想象力有關。

漢密爾頓還沒有停止，他構(gòu)造出了八數(shù)組，十九世紀末期又有了十六數(shù)組。他發(fā)現(xiàn)，從二維到四維，乘法交換律失效了，從四維到八維，乘法結(jié)合律也失效了，從八維到十六維，除法也失效了。

關鍵問題是，這一切都意味著什么呢？

其后四元數(shù)遇到了后起之秀海威塞的挑戰(zhàn)，他發(fā)明了矢量概念，即用三數(shù)組來描述空間的點，矢量乘法就是我們在高數(shù)中學過的點積和叉積。矢量比較好地適用于工程學，應用較廣。所以逐漸替代了四元數(shù)組。

直到二十世紀初，人們才逐漸理解，其實兩者有很大的差別，簡單來說，矢量方法就是轉(zhuǎn)動一個操作平臺，就像我們把手表放在轉(zhuǎn)表盒里轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去看手表一樣；而四元數(shù)則是代表的空間位置和轉(zhuǎn)動本身。這個概念，一直到近一百年后，人們研究到質(zhì)子、中子和電子的自旋運動時，才得以理解四元數(shù)的強悍。

1843年10月16日漢密爾頓爵士在經(jīng)過都柏林皇家運河上的布魯姆橋時，靈感突發(fā)想到了第四個數(shù)，因為他當時怕自己走過橋之后就忘記了，直接拿出刀子就刻在橋西頭上。當然，后來這個涂鴉沒有了，不過后世為了紀念這一天，再次把這個四元數(shù)計算法則銘刻在了那座橋上，造就了歷史上最著名的數(shù)學涂鴉。

其實，幾乎就是在同一時間，尼古拉·羅巴切夫斯基也想到了非歐幾何——即基于彎曲空間的另一套幾何法則——誰說了法則是不能更改的？

漢密爾頓在四元數(shù)組中提到了標量a，和其余三項向量，把向量理解為旋轉(zhuǎn)——僅僅十二年之后，法拉第就發(fā)現(xiàn)了電場和磁場，但法拉第不太懂數(shù)學，無法描述，直到再十余年后的麥克斯韋，才把向量與電磁場結(jié)合了起來。

插上了一段——三元數(shù)組也好，四元數(shù)組也好，從形式上提出了一個數(shù)據(jù)矩陣的問題。而矩陣式的問題，最早來源于兩千年年前中國西漢時期的著名數(shù)學著作——九章算術。

在這部著作中，第一次提出了三元一次方程組的解答方法——也就是我們熟知的消元法。把消元法抽象為純粹的形式，其實就是行列式。只不過九章算術沒有提出代數(shù)，得到的都是具體的數(shù)值解。