【數(shù)論問題】



　1．難度：★★★★



　　 一個房間中有100盞燈，用自然數(shù)1，2，…，100編號，每盞燈各有一個開關(guān)。開始時，所有的燈都不亮。有100個人依次進入房間，第1個人進入房間后，將編號為1的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開；第2個人進入房間后，將編號為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開；如此下去，直到第100個人進入房間，將編號為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開。問：第100個人離開房間后，房間里哪些燈還亮著？　　

【答案】

　　對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當(dāng)它的開關(guān)被按奇數(shù)次時，燈是開著的；當(dāng)它的開關(guān)被按偶數(shù)次時，燈是關(guān)著的；根據(jù)題意可知，當(dāng)?shù)?00個人離開房間后，一盞燈的開關(guān)被按的次數(shù)，恰等于這盞燈的編號的因數(shù)的個數(shù)；要求哪些燈還亮著，就是問哪些燈的編號的因數(shù)有奇數(shù)個。顯然完全平方數(shù)有奇數(shù)個因數(shù)。所以平方數(shù)編號的燈是亮著的。而1□100內(nèi)的完全平方數(shù)有1 2□10 2，所以當(dāng)?shù)?00個人離開房間后，房間里還亮著的燈的編號是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。





　　2．難度：★★★★★



　　 1×3×5×…×2011的末三位數(shù)是多少？

　　【答案】

　　首先，由于要求末三位數(shù)字，可以僅考慮末三位數(shù)字，也就是考慮這個數(shù)除以1000的余數(shù)。

　　由于1000=8×125，而題中這個數(shù)肯定是125的倍數(shù)，那么如果能知道這個數(shù)除以8的余數(shù)，也就可以知道它除以1000的余數(shù)了。由于這個數(shù)是奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，11，…，2011的乘積，而9與1、11與3……除以8的余數(shù)相同，所以如果將這個數(shù)列每4個分為一組：(1，3，5，7)，(9，11，13，15)，……那么每組中的4個數(shù)的乘積除以8的余數(shù)是相同。由于1～2011共有1006個奇數(shù)，所以可以分成1006÷4=251組…2個。剩下2009和2011。

　　第一組中4個數(shù)的乘積為1×3×5×7=105，除以8的余數(shù)為1，所以每組中4個數(shù)的乘積除以8的乘積也都是1，這樣251組數(shù)的總乘積除以8的余數(shù)也是1。2009×2011除以8的余數(shù)1×3=3，那么說明這個數(shù)除以8的余數(shù)是3。

　　由于該數(shù)是125的奇數(shù)倍，那么末三位是125的奇數(shù)倍，可能為125，375，625，875，它們除以8的余數(shù)分別為5、7、1、3，只有875除以8的余數(shù)為3，所以原題中乘積的末三位數(shù)字為875。