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對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)除以一個(gè)自然數(shù)，一定存在唯一確定的商和余數(shù)，使被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）
也就是說，整數(shù)a除以自然數(shù)b，一定存在唯一確定的q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立． 我們把對(duì)于已知整數(shù)a和自然數(shù)b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的運(yùn)算叫做有余數(shù)的除法，或稱帶余除法．記為 a÷b=q（余r）或a÷b=q…r 讀作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，q叫做不完全商（簡(jiǎn)稱商），r叫做余數(shù)． 例如5÷7=0（余5），6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）． 解決有關(guān)帶余問題時(shí)常用到以下結(jié)論： ?。?/font>1）被除數(shù)與余數(shù)的差能被除數(shù)整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）． 因?yàn)?/font>a÷b=q（余r），有a=bq＋r，從而a-r=bq， 所以b｜（a-r）． 例如39÷5=7（余4），有39＝5×7＋4，從而39-4=5×7，所以5｜（39-4） ?。?/font>2）兩個(gè)數(shù)分別除以某一自然數(shù)，如果所得的余數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)的差一定能被這個(gè)自然數(shù)整除．即如果a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2），其中a1≥a2． 因?yàn)?/font>a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r，a2=bq2＋r，從而a1-a2=（bql＋r）-（bq2＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)． 例如，22÷3=7（余1），28÷3=9（余1），有22=3×7＋1，28=3×9＋1，從而28-22=3×9-3×7＝3×（9-7），所以3｜（28-22）． ?。?/font>3）如果兩個(gè)數(shù)a1和a2除以同一個(gè)自然數(shù)b所得的余數(shù)分別為r1和r2，r1與r2的和除以b的余數(shù)是r，那么這兩個(gè)數(shù)a1與a2的和除以b的余數(shù)也是r． 例如，18除以5的余數(shù)是3，24除以5的余數(shù)是4，那么（18+24）除以5的余數(shù)一定等于（3＋4）除以5的余數(shù)（余2）． （4）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變，余數(shù)的也隨著擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)．即如果a÷b=q（余r），那么（am）÷（bm）=q（余rm），（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）（其中m｜a，m｜b）． 例如，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8），（14÷2）÷（6÷2）=2（余2÷2）． 下面討論有關(guān)帶余除法的問題． 例1 節(jié)日的街上掛起了一串串的彩燈，從第一盞開始，按照5盞紅燈，4盞黃燈，3盞綠燈，2盞藍(lán)燈的順序重復(fù)地排下去，問第1996盞燈是什么顏色？ 分析：因?yàn)椴薀羰前凑?/font>5盞紅燈，4盞黃燈，3盞綠燈，2盞藍(lán)燈的順序重復(fù)地排下去，要求第1996盞燈是什么顏色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余數(shù)是幾，就可判斷第1996盞燈是什么顏色了． 解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142…4 所以第1996盞燈是紅色． 例2 把1至1996這1996個(gè)自然數(shù)依次寫下來，得一多位數(shù)123456789101112……199419951996，試求這一多位數(shù)除以9的余數(shù)． 分析：從前面我們學(xué)習(xí)被9整除的特征知道，一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)必能被9整除．所以一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)正好相等．這樣問題轉(zhuǎn)化為求1至1996這1996個(gè)自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少，然后用這個(gè)和除以9所得的余數(shù)即為所求． 解：將0至1999這2000個(gè)整數(shù)一頭一尾分成如下1000組：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），……，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一組的兩數(shù)之和都是1999，并且每一組兩數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，這樣1至1999這1999個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于： （1＋9＋9+9）×1000=28000 而1997至1999這3個(gè)自然數(shù)所有數(shù)字之和為： 1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81 所以從1至1996這1996個(gè)自然所有數(shù)字之和為: 28000-81=27919 27919÷9=3102…1 所以123456789……199419951996除以9的余數(shù)是1． 另外：因?yàn)橐来螌懗龅娜我膺B續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的位數(shù)一定能被9整除．而1至1996共有1996個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且1996÷9=221…7，最后7個(gè)自然數(shù)為1990，1991，1992，…1996，這7個(gè)數(shù)的所有數(shù)字之和為： 1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154 154÷9=17…1 所以123456789……199419951996這個(gè)多位數(shù)被9除余1． 為什么依次寫出任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除呢？這是因?yàn)槿我膺B續(xù)的9個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)，必是0，1，2，…，7，8這9個(gè)數(shù)，而各數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)，就等于這9個(gè)數(shù)之和0+1+2+…+8除以9的余數(shù)，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9整除，所以任意連續(xù)的9個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和必能被9整除，因此任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)必能被9整除．
分析：首先要找到最少幾個(gè)8連在一起得到的自然數(shù)能被7整除，這只要直接用除法進(jìn)行試驗(yàn)來得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984，最少6個(gè)8能被7整除，凡是6的整數(shù)倍個(gè)8均能被7整除，而1996÷6=332…4，
解：因?yàn)?/font>888888÷7=126984，1996÷6=332…4，8888÷7=1269…
例4 一個(gè)數(shù)除93，254得到相同的余數(shù)，除163所得的余數(shù)比上面的余數(shù)大1，求這個(gè)數(shù)． 分析：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)除93，254得到的余數(shù)相同，除163所得的余數(shù)比上面的余數(shù)大1，如果除162所得的余數(shù)應(yīng)與上面的余數(shù)完全相同．這樣將問題轉(zhuǎn)化成相同余數(shù)的問題，根據(jù)前面結(jié)論（2）轉(zhuǎn)化成整除問題，問題就可以得到解決． 解：設(shè)這個(gè)數(shù)為a，則a除93，254，162，得到相同的余數(shù)，于是有： 93＝aq1＋r，254＝aq2＋r,162＝aq3＋r 這樣a｜（254-162），a（162-93），即a是92和69的公約數(shù)，（92，69）=23，23的公約數(shù)是1，23，但a≠1，所以a=23． 例5 一個(gè)自然數(shù)在1000到1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求這個(gè)自然數(shù)， 分析：先求出被3除余1的數(shù)，然后在其中找到除以5余2的數(shù)，最后在這些數(shù)中找出除以7余3的最小自然數(shù)，這個(gè)數(shù)必然滿足被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然數(shù)．再加上3，5，7的公倍數(shù)，使得和在1000到1200之間． 解：被3除余1的數(shù)為：4，7，10，13，16，19，22，…，其中被5除余2的數(shù)為：7，22，37，52，67，…，這其中被7除3的最小自然數(shù)52，又因?yàn)?/font>[3，5，7]=105，所以所求數(shù)可表示為52＋105m，m是自然數(shù)，當(dāng)m=10時(shí)，52＋105×10=1102即為所求． 例6 如圖18—1，圖中是一個(gè)按一定規(guī)律排列的數(shù)表，將自然數(shù)的所有奇數(shù)排成A、B、C、D、E、F六列，問1997出現(xiàn)在哪一列打頭字母下？ A B C D E F 1 3 5 7 9 19 17 15 13 11 21 23 25 27 29 39 37 35 33 31 41 … … … … 圖18—1 分析：從數(shù)表中可以看出，每?jī)膳殴?/font>10個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)周期．1997是第（1997＋1）÷2=999個(gè)奇數(shù)．凡被10除余1或9在B列，被10除余2或8在C列，被10除余3或7在D列，被10除余4或6在E列，被10除余5在F列，被10整除在A列．這樣很容易求出第999個(gè)奇數(shù)除以10的余數(shù)，從而得到1997在哪一列． 解：因?yàn)槊績(jī)膳殴?/font>10個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)周期，1997是第（1997+1）÷2=999個(gè)奇數(shù)，又999÷10=99…9，所以1997在B列． |
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