今天，王老師為大家整理了七年級數(shù)學(xué)下冊第一單元知識點歸納，有需要的學(xué)趕緊收藏保存！

整式的乘除

知識1：同底數(shù)冪的乘法

1.法則:a^m·aⁿ=a^m+n(m,n都是正整數(shù))

(1)底數(shù)a可代單項式,也可代表多項式；

(2)運用該法則時,底數(shù)必須相同。

2.推廣:a^m·aⁿ·a^p·…·a^q=a^m+n+p+…+q(m,n,p,…,q均為正整數(shù))

3.逆用:a^m+n=a^m·^a(m,n都是正整數(shù))

例 若a^3m=8,a²ⁿ=16,則a^3m+2n=       。

[解析]因為a^3m=8,a²ⁿ=16,所以a^3m+2n=a^3m·a²ⁿ=8×16=128.

4.拓展：

知識2:冪的乘方

1.法則:(a^m)ⁿ=a^mn(m,n都是正整數(shù))底數(shù)不變,指數(shù)相乘

2.推廣:[(a^m)ⁿ]^p=a^mnp(m,n,p都是正整數(shù))

3.逆用:a^mn=(a^m)ⁿ=(aⁿ)^m(m,n都是正整數(shù))

知識3:積的乘方

1.法則:(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n為正整數(shù))底數(shù)分別乘方.即:積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘

2.推廣:這個性質(zhì)對于三個或三個以上因式的積的乘方也適用,如(abc)ⁿ=aⁿbⁿcⁿ(n是正整數(shù))

若所給的冪底數(shù)可化為同一個數(shù)的冪的形式，可逆用冪的乘方化為同底數(shù)冪，根據(jù)指數(shù)的大小確定所給冪的大小關(guān)系,如8²⁰=64¹⁰,4³⁰=64¹⁰,因此8²⁰=4³⁰.

3.利用冪的運算法則比較大小：

所給冪的指數(shù)、底數(shù)均不相同,且指數(shù)較大時,可利用冪的乘方的性質(zhì)化為同指數(shù)的冪,根據(jù)底數(shù)的大小關(guān)系確定所給冪的大小關(guān)系。

知識4：整式的乘法

1.單項式與單項式相乘

(1)法則:單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

(2)步驟:

2.單項式與多項式相乘

(1)法則:單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加.單項式與多項式相乘的依據(jù)是乘法分配律。

(2)字母表示:m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-mc

(3)注意事項:

①多項式與單項式相乘后仍是多項式,積的項數(shù)與多項式的項數(shù)相同.

②在計算時,不要丟掉多項式中各項前面的符號.

例 已知xy²=-6,求-xy(x³y⁷-3x²y⁵-5y)的值

[分析]由于乘法運算后,所求式中各項的x的指數(shù)總是y的指數(shù)的一半,故可用冪的運算實現(xiàn)整體代入.

[解]-xy(x³y⁷-3x²y⁵-5y)=-x⁴y⁸+3x³y⁶+5xy²

=-(xy²)⁴+3(xy²)³+5(xy²)

當(dāng)xy²=-6時

原式=-(-6)⁴+3×(-6)³+5×(-6)=-1974

3.多項式與多項式相乘

(1)法則:多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加

(2)字母表示:(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=am-an+bm-bm

(3)注意事項:

①多項式與多項式相乘,結(jié)果仍是多項式

②在合并同類項之前,積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式項數(shù)之積,最后的計算結(jié)果中不能含有同類項

③把多項式與多項式相乘所得的積合并同類項后,如果結(jié)果中不含某項,那么該項的系數(shù)為0

知識5：整式的除法

1.同底數(shù)冪的除法

(1)法則:a^m÷aⁿ=a^m-n(a≠0,m,n都是正整數(shù),并且m>n)

即:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減

(2)推廣:a^m÷aⁿ÷a^p=a^m-n-p(a≠0,m,n,p都是正整數(shù),并且m>n+p)

(3)逆用:a^m-n=a^m÷aⁿ(a≠0,m,m都是正整數(shù),并且m>n)

2.零指數(shù)冪的意義

a⁰=1(a≠0),即:任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.

3.單項式除法法則

單項式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

4.多項式除以單項式法則

(1)法則:多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加.

(2)字母表示:(am+bm-cm)÷m=am÷m+bm÷m+(-cm)÷m

=a+b+(-c)=a+b-c

(3)注意事項:

①多項式除以單項式,應(yīng)清楚多項式的每一項的符號,相除時要帶著符號與單項式相除.

②注意運算順序,有括號的先算括號里面的.

乘法公式

知識1:平方差公式

1.平方差公式

(1)代數(shù)表達(dá):(a+b)(a-b)=a²-b²;相同為a，相反為b.

(2)文字表述:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

(3)重要提示:公式中的字母a和b可以是數(shù),也可以是式子(包括單項式、多項式等).

(4)變形公式:(b+a)(-b+a)=a²-b²;(-a+b)(-a-b)=(-a)²-b²;

(-a-b)(a-b)=(-b)²-a²;

2.平方差公式的特點

(1)等號的左邊是兩個二項式相乘,且有兩項相同,另外兩項互為相反數(shù);

(2)等號的右邊是相同項的平方減去互為相反數(shù)項的平方

例:計算:(1)(-0.1-a)(a-0.1);(2)98×102.

[解](1)(-0.1-a)(a-0.1)=(-0.1-a)(0.1+a)=(-0.1)²-a²=0.01-a²;

(2)98×102=(100-2)×(100+2)=100²-2²=10000-4=9996.

知識2：完全平方公式

1.完全平方公式

(1)代數(shù)表達(dá):(a+b)²=a²+2ab+b²;(a-b)²=a²-2ab+b²

(2)文字表述:兩個數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍

(3)變形公式:①a²+b²=(a+b)²-2ab;②a²+b²=(a-b)²+2ab;

③2ab=(a+b)²-(a²+b²);④2ab=(a²+b²)-(a-b)²;

⑤(a+b)²=(a-b)²+4ab;⑥(a-b)²=(a+b)²-4ab;

2.完全平方公式的特點

(1)等號的左邊是一個二項式的完全平方的形式;

(2)等號的右邊是一個二次三項式,其中有兩項是平方的形式,另一項是寫成平方項的兩項底數(shù)乘積的2倍或—2倍.

知識3添括號法則

(1)代數(shù)表達(dá):a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c)

(2)文字表述:添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不改變符號;如果括號前面是負(fù)號,括到括號里的各項都改變符號、例 計算:(2a+b-2)(2a-b-2)

[分析]由于兩個括號中含有相同的項和互為相反數(shù)的項,故可應(yīng)用平方差公式計算把2a-2看作一項,b看作另一項

[解](2a+b-2)(2a-b-2)=[(2a-2)+b][(2a-2)-b]=(2a-2)²-b²

=4a²-8a+4-b².