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經(jīng)典不等式鏈： 1. 第一部分：調(diào)和平均數(shù)（HA: harmonic average） 即n個(gè)量的倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)； 應(yīng)用場(chǎng)景：樣本自變量和因變量的乘積相等的情況下，改變每個(gè)樣本的自變量，而不改變自變量的總和，隨之變化的因變量為調(diào)和平均數(shù). 實(shí)際例子： 例一：一道小學(xué)6年級(jí)題目。一項(xiàng)工程甲單獨(dú)完成需要4天，乙單獨(dú)完成需要6天，問(wèn)甲乙一起完成需要幾天？ 此題對(duì)于一些六年級(jí)孩子而言應(yīng)該不算難題。他們所熟練使用的做法，也是現(xiàn)在很多人第一時(shí)間想到的方法便是設(shè)“1”法。即需要：
這是我們第一次無(wú)意識(shí)得接觸調(diào)和平均數(shù)。當(dāng)然大部分人也只是按公式去理解：總工程量設(shè)為x,則甲乙工作效率分別是 對(duì)比該例和我們對(duì)調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景，這里總體的工程量是不變的，所求的工作時(shí)間為因變量，自變量為工作效率（和不變）。所求時(shí)間即為調(diào)和平均！ 調(diào)和平均可以通俗理解為“能者多勞”，或者說(shuō)是“壓榨能人”。即能力強(qiáng)的（干活快的）不怕吃虧，大家都埋頭苦干就好了（是不是很符合我們的共產(chǎn)主義目標(biāo)(*^_^*)）。對(duì)于每個(gè)變量的“能力調(diào)和”。 注意：1. 使用簡(jiǎn)單的調(diào)和平均要滿足“大家一起”這個(gè)條件，如果不滿足將變?yōu)榱硪环N“調(diào)和”，如下面例二。 2.自變量與因變量乘積要保持不變。但有些問(wèn)題中的不變量并不是那么明顯，如下面的例三 例二：與例一條件相同，甲單獨(dú)4天，乙單獨(dú)6天，現(xiàn)在要求每天甲干前半天，乙干后半天。問(wèn)完成整個(gè)工程需要多少天？ 此時(shí)問(wèn)題相對(duì)例一就變得復(fù)雜了很多，當(dāng)然思考清楚后發(fā)現(xiàn)我們可以興奮得發(fā)現(xiàn)每天的工作量是不變的： 這里 如果上述你能理解，那么下面例三對(duì)你便小菜一碟！ 例三：小明繞著跑道跑了3圈，同一圈時(shí)保持勻速，三圈速度分別為 很多六年級(jí)孩子接觸這道題時(shí)，當(dāng)時(shí)就懵圈了，直接就得到 對(duì)于有點(diǎn)知識(shí)基礎(chǔ)的我們而言，我們其實(shí)可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)的問(wèn)題與例二類(lèi)似（只需要改變例二條件為兩人輪換分別每人干一整天），用總路程除以總時(shí)間，設(shè)一圈為S，則總路程為3S，總時(shí)間為
終于出現(xiàn)了我們開(kāi)頭所介紹的形式！ 在例二的最后我介紹了平均的本質(zhì)就在于加權(quán)的期望，這里我把上式改寫(xiě)一下形式希望對(duì)讀者理解起來(lái)有幫助。
即按三部分的時(shí)間比例分配權(quán)重給速度，求速度的期望。 最后給一個(gè)網(wǎng)上的生動(dòng)解釋?zhuān)?/p>
在實(shí)際中，往往由于缺乏總體單位數(shù)的資料而不能直接計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，這時(shí)需用調(diào)和平均法來(lái)求得平均數(shù)。 2. 第二部分：幾何平均數(shù)（GA：geometrical average） 什么時(shí)候使用幾何平均數(shù)呢？注意不論什么平均數(shù)都是描述這些變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征（PS:統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)還包括中位數(shù)，眾數(shù)，方差，極差等）。 思考一個(gè)具體的數(shù)學(xué)例子：首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列{ 這里我們應(yīng)該有個(gè)初步感覺(jué)，幾何平均貌似把一些很大很大的數(shù)作用給縮小了，同時(shí)把比較小的作用稍微調(diào)大了 那么什么時(shí)候用幾何平均呢？考慮下面一個(gè)更為實(shí)際的例子。假設(shè)一個(gè)公司評(píng)選優(yōu)秀員工，參考兩項(xiàng)指標(biāo)，一項(xiàng)是百分制，一項(xiàng)十分制?，F(xiàn)在甲得分為(78,6),乙得分為(87,3)；那么甲乙誰(shuí)更優(yōu)秀呢？這里思考快的讀者估計(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了，如果用傳統(tǒng)的算術(shù)平均，則甲平均為42，乙平均為45，我們會(huì)推斷乙平均更優(yōu)秀，但這樣合理嗎？很明顯不合理！把第二項(xiàng)指標(biāo)換也換算成百分制，則兩人的得分應(yīng)該是（78，60），（87，30）.此時(shí)再求平均得到甲平均為69，乙平均為58.5;甲超出乙很多！而且這種做法很符合我們的公正性。我們對(duì)原數(shù)據(jù)（78，6）和(87,3)用幾何平均數(shù)試試，可以得到甲的幾何平均為21.63，乙?guī)缀纹骄鶠?6.15 到這里可能大家都發(fā)現(xiàn)幾何平均的第一個(gè)應(yīng)用了：對(duì)不同標(biāo)準(zhǔn)的量可以進(jìn)行權(quán)重的調(diào)整（類(lèi)似于馬氏距離與歐氏距離的關(guān)系），又一次說(shuō)明了平均即為帶權(quán)重的期望，使得平均數(shù)更有說(shuō)服力。 但對(duì)于上述問(wèn)題要注意，幾何平均一般是沒(méi)有單位的。比如兩個(gè)人身高體重分別是(180cm,80kg)和(160cm,70kg).這時(shí)用幾何平均比較兩個(gè)人的平均身體水平是合適的，但平均數(shù)是沒(méi)有單位的，只能比大小。 幾何平均更多用于金融學(xué)的復(fù)利上，舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子，一個(gè)基金連續(xù)5年的年利率分別為1%，2%，3%，4%，5%。求平均年利率。我們列式子便能得到:
這里不再計(jì)算，可以明顯得到x的求法并不是單純的
3. 第三部分：算術(shù)平均數(shù)（AA： arithmetic average） 終于到了我們最最最熟悉的算術(shù)平均，雖然前面一直在diss算術(shù)平均，但不得不承認(rèn)算式平均用途很廣！ 這里不再獻(xiàn)丑，只是說(shuō)明一下，算術(shù)平均其實(shí)就是上面我所提到的期望哈哈哈。剛剛懵逼的讀者現(xiàn)在估計(jì)要打我了。 另外在第二部分幾何平均時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，算術(shù)平均的一大缺點(diǎn)就是很容易受到某些相對(duì)于其他量，自身極高或者極低的量影響。所以如果對(duì)于實(shí)際情況時(shí)我們往往去除最高分和最低分來(lái)控制隨機(jī)誤差。
4. 第四部分：平方平均數(shù)（QA：Quadratic average）
總結(jié)： 1. 不同尺度的比率：使用幾何平均數(shù)（或在標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)上應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)）；周期一致的復(fù)合比率：使用幾何平均數(shù)。 2. 不同周期或長(zhǎng)度上的比率：使用調(diào)和平均數(shù)（或加權(quán)平均數(shù)）。 3. 如果數(shù)據(jù)體現(xiàn)出相乘結(jié)構(gòu)和/或包含較大的離散值：幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)可能更合適（中位數(shù)可能也比較合適） 4. 使用幾何平均數(shù)可能損失有意義的尺度或單位。包含0的數(shù)據(jù)集無(wú)法應(yīng)用幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)，包含負(fù)數(shù)的數(shù)據(jù)集意味著無(wú)法應(yīng)用幾何平均數(shù) 5. 不需要把調(diào)和平均和幾何平均看得很神秘。不同尺度評(píng)分的幾何平均數(shù)有時(shí)保留了這些值標(biāo)準(zhǔn)化至同一尺度后的算術(shù)平均數(shù)的次序。此外，由數(shù)學(xué)公式 6. 算術(shù)平均，幾何平均，調(diào)和平均統(tǒng)稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯平均數(shù)。 最后放一張圖供大家享用：
A:算術(shù)平均； Q:平方平均； H:調(diào)和平均； G:幾何平均 |
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,所以?xún)蓚€(gè)人得工作效率為
,進(jìn)而消去x便得到我們上述結(jié)果。
.那么我們只需要求
(
)。
的出現(xiàn)其實(shí)可能很多讀者已經(jīng)感覺(jué)到了所謂平均的意義（滑稽臉）。對(duì)！就是對(duì)變量按權(quán)重取期望（看不懂就跳過(guò)吧），可以思考下如果是“甲工作前1/3天，乙工作后2/3天，結(jié)果又該怎么算”，祝你能快速理解。
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