教學(xué)反思：解讀學(xué)生解題思維

期中考試有這樣一道題，難度并不高，但得分率卻不高，在批閱過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不少似是而非的解答過(guò)程，說(shuō)明這些學(xué)生并不是學(xué)習(xí)態(tài)度問(wèn)題，而是學(xué)習(xí)能力或方法存在欠缺，研究他們的解題思維，有助于在后期教學(xué)中正確引導(dǎo)，幫助他們完成查遺補(bǔ)漏，健全知識(shí)體系。

如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ABDF為菱形時(shí)，求CD的長(zhǎng).

解析：

(1)△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△AEF，因此，抓住旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可事半功倍。

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)究竟說(shuō)了些啥？

根據(jù)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”可得AB=AE，AC=AF，再根據(jù)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”可得∠BAE=∠CAF，這些條件正好說(shuō)明△ABE≌△ACF，從而BE=CF；

(2)新增條件為菱形ABDF，它的性質(zhì)包括對(duì)邊平行，四邊相等，對(duì)角線互相垂直平分等，但在本題中并未作出對(duì)角線，因此最初的分析自然重點(diǎn)放在邊的關(guān)系上，相等或平行。

除了△ABC和△AEF是等腰三角形之外，還有兩個(gè)等腰三角形，分別是△ABE和△ACF，前面兩個(gè)等腰三角形的頂角是45°，后面兩個(gè)等腰三角形有特殊角嗎？

借助菱形對(duì)邊平行，∠BAC=∠ACF，發(fā)現(xiàn)△ACF的底角為45°，這就非常特殊了，它是等腰直角三角形，迅速得到CF=√2AC=2√2，其中DF作為菱形的一條邊，DF=AB=2，于是可求出CD=CF-DF=2√2-2.

01

走偏的思路一：

在得到∠1=∠2=∠3=∠4這個(gè)結(jié)論之前，缺少了必要的證明，∠1和∠2屬于等腰△ABE的兩個(gè)底角，∠3和∠4屬于△ACF的兩個(gè)底角，這四個(gè)角均相等，需要證明這兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，即∠BAE=∠CAF，它們恰好就是旋轉(zhuǎn)角，這是證明過(guò)程中不規(guī)范的地方；

證明△BCD和△FED全等的思路沒(méi)錯(cuò)，雖然繞了一點(diǎn)彎路，大體上還是正確的。

02

走偏的思路二：

與前一個(gè)思路偏離的位置幾乎相同，仍然跳過(guò)了∠BAC=∠CAF這個(gè)條件，直接得到兩個(gè)等腰三角形底角相等，這不得不令人懷疑，這位學(xué)生真的明白相等的理由，或是認(rèn)為只要是等腰三角形，底角就都相等？

從這位學(xué)生的解答過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)書寫內(nèi)容較多，他認(rèn)為重要的步驟全部都寫了出來(lái)，于是更有理由懷疑，如果僅僅只告訴△ABC和△AEF是兩個(gè)等腰三角形，缺少頂角相等的條件下，他還是會(huì)寫下∠AEB=∠ACF，這就麻煩了。

03

走偏的思路三：

顯然這位學(xué)生也企圖跳步驟，可惜的是，等腰直角三角形的理由并不充分，主要原因在于∠BAE=90°沒(méi)有證明，恰恰在第1問(wèn)的條件下，這個(gè)角未必是直角。

同樣在第2問(wèn)的證明過(guò)程中，缺少了證明△ACF為等腰直角三角形的過(guò)程，否則無(wú)從解釋CF=2√2從何而來(lái)。也許他認(rèn)為在第1問(wèn)中已經(jīng)證明過(guò)，不需要再重復(fù)書寫，可如果第1問(wèn)的證明就站不住腳，后面的證明就是無(wú)根之水。

閱卷思考

在平時(shí)的幾何教學(xué)過(guò)程中，規(guī)范書寫一直是重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的，這要從七年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明開(kāi)始，在八年級(jí)進(jìn)行強(qiáng)化，現(xiàn)在到了九年級(jí)，前面的教學(xué)中究竟有沒(méi)有注意到這些規(guī)范細(xì)節(jié)，一目了然。

這三份答案，初看上去答案正確，關(guān)鍵步驟也有，但經(jīng)不起推敲，細(xì)看之下，發(fā)現(xiàn)思維不連續(xù)，從解題前后文看，大概率是沒(méi)想到，而不是想到了“懶得”寫。我們的學(xué)生解題習(xí)慣源自于每一次的作業(yè)，因此每天的作業(yè)批改，就是唯一能幫助學(xué)生糾正不良解題習(xí)慣的途徑。

數(shù)學(xué)老師相對(duì)而言，批改作業(yè)的工作量比較大，特別是幾何教學(xué)，其難度并不亞于批改一篇作文，甚至有過(guò)之而無(wú)不及（幾何綜合題），所以細(xì)看學(xué)生解題過(guò)程，是一個(gè)良好的批閱作業(yè)習(xí)慣，盡管代價(jià)高昂，但值得堅(jiān)持。

另一方面，學(xué)生在考完后相互對(duì)答案的時(shí)候，這三位同學(xué)毫無(wú)例外地認(rèn)為自己可以拿全分，所以預(yù)估分?jǐn)?shù)時(shí)偏高，真的看到結(jié)果，會(huì)感到意外，在評(píng)講完試卷之后，又大呼可惜。

真的可惜嗎？我覺(jué)得應(yīng)該是一次教訓(xùn)。現(xiàn)在吃點(diǎn)小虧，總比將來(lái)中考吃大虧強(qiáng)，這不是吹毛求疵，而是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

對(duì)比這些走偏的思路與正確的思路，發(fā)現(xiàn)利用全等三角形來(lái)進(jìn)行等量證明，是常見(jiàn)想法，這沒(méi)錯(cuò)，但在圖中存在多對(duì)全等三角形的時(shí)候，就需要進(jìn)行選擇，在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，作為老師，看到一道習(xí)題有多種解法，往往第一反應(yīng)是非常高興，也有時(shí)候?yàn)榱苏疹檶W(xué)生的積極性，在課堂評(píng)價(jià)上給予了正面評(píng)價(jià)。在我看來(lái)，所謂多種解法，應(yīng)該對(duì)應(yīng)多種思路，而每一種思路，應(yīng)該是這個(gè)方向上的“最優(yōu)解”，不能為了多解而多解，那就本末倒置了。

幾何題的解法，從條件到結(jié)論，無(wú)數(shù)條思路中，我們也要遵循基本的數(shù)學(xué)原理，“兩點(diǎn)之間，線段最短”，經(jīng)歷的轉(zhuǎn)換越少，思路越簡(jiǎn)潔（不僅是指步驟少）。