無(wú)理數(shù)是很有趣的，小數(shù)點(diǎn)一直延續(xù)下去，但是整個(gè)數(shù)總是小于一個(gè)固定值，這不是很尷尬嗎？更令人驚訝的是，這些數(shù)字是如何與畫在一個(gè)平面上的圓聯(lián)系在一起的，是的，我說(shuō)的就是π。這里我們將用半頁(yè)紙來(lái)證明這個(gè)數(shù)字π的無(wú)理性。

幾千年來(lái)，人類文明就已經(jīng)知道π及其與周長(zhǎng)和圓面積的關(guān)系；盡管π的估算從3到3.12再到3.14等等，但它的無(wú)理性卻只有約翰·海因里?！ぬm伯特發(fā)現(xiàn)并證明了-(德語(yǔ)：[lambt]，法語(yǔ)：讓-亨利·蘭伯特；1728年8月26日至1777年9月25日)，他是1760年的瑞士博物學(xué)家，后來(lái)被其他著名的數(shù)學(xué)家如厄米特、卡特萊特、布爾巴基和拉茨科維奇所研究。

然而，當(dāng)這些證明被認(rèn)為是高水平的數(shù)學(xué)時(shí)，Ivan Niven博士的一篇論文用簡(jiǎn)單易懂的工具，用古老的矛盾方法將其縮短在半頁(yè)紙里，讓我們來(lái)看看。

首先考慮π是有理數(shù)，π可表示為π = a/b，其中a和b為整數(shù)且b≠0。讓我們?cè)倏紤]一個(gè)函數(shù):

我們可以將n從1變換到任意數(shù)n，得到一個(gè)多項(xiàng)式F(x):

現(xiàn)在，回到f(x)，很明顯當(dāng)n!與f(x)相乘，分母為1，因此對(duì)于任意x, f(x)的結(jié)果是一個(gè)整數(shù)。所以

現(xiàn)在，如果你考慮右邊，(a -b.x)^n中x的最低次冪是0，在a^n中，當(dāng)它乘以x^n時(shí)，結(jié)果中x的最低次冪是n，最高次冪是n+n = 2n。

如果對(duì)f(x)求導(dǎo)，當(dāng)x = 0或(a - b.x) = 0 => x = a/b = π(如前所述)時(shí)，結(jié)果總是0，因?yàn)榉肿又兴许?xiàng)都有x。現(xiàn)在我們對(duì)(F ' (x) sin x - F(x) cos x})關(guān)于x求導(dǎo)。

經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)化，我們得到的結(jié)果是：這里將把它作為一個(gè)有趣而簡(jiǎn)單的題目留給大家。

你可能知道，積分是微分的逆運(yùn)算，反之亦然。因此，如果對(duì)f(x) sin x積分，也就是對(duì){f ' (x) sin x - f(x) cos x}求導(dǎo)后的結(jié)果，我們得到的結(jié)果是{f ' (x) sin x - f(x) cos x} ！在0到π的范圍內(nèi)積分相同，我們得到：

在此，π＝ a / b。如前所述，F(xiàn)（π）+ F（0）是一個(gè)整數(shù)，可以任意次數(shù)地將f（x）微分，因?yàn)閤 = a / b =π和x = 0的結(jié)果是整數(shù)。

但由于f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，當(dāng)0 < x < π時(shí)，f(x). sinx的最小值為0，而x的值為f(x)。通過(guò)對(duì)sinx = 0求導(dǎo)可以得到sinx = 0的最大值，接下來(lái)如果將值代入，就得到了該函數(shù)值在上述極限中的一個(gè)上界。

很好，所以這個(gè)積分是正的，但是對(duì)于一個(gè)非常大的n它就不成立了，當(dāng)n的值更大時(shí)，它的上界趨向于0。

換句話說(shuō)，對(duì)于n的任意值的積分在n的更大值處斷開(kāi)，所以有兩種可能性，要么是積分過(guò)程出錯(cuò)，要么是π不能寫成a/b。但如果你用多種方法來(lái)驗(yàn)證積分過(guò)程，結(jié)果總是一樣的，要么就是π≠a/b，要么就是π無(wú)理數(shù)！

雖然現(xiàn)在有許多人已經(jīng)記住了成千上萬(wàn)個(gè)π的數(shù)字，但只有少數(shù)人知道如何證明它的無(wú)理性。盡管有很多對(duì)π無(wú)理性的證明，甚至有一個(gè)從未存在過(guò)的法國(guó)數(shù)學(xué)家布爾巴基的證明，但伊凡·尼文的證明碰巧是最簡(jiǎn)潔的。