- 復(fù)數(shù)歐拉定理
該公式搭建了復(fù)數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的橋梁，而復(fù)數(shù)又可以用三角函數(shù)表示，所以該公式也搭建起了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的橋梁。
如此，利用該公式，很多三角函數(shù)的問(wèn)題可以用指數(shù)函數(shù)來(lái)解決。
該公式的證明有很多種方法，如麥克勞林展開式（Maclaurin's Series）。
- 三角函數(shù)倍角公式推導(dǎo)
那么，有沒(méi)有通用倍角公式呢？也即求
，其中n為自然數(shù)
的公式呢？
確實(shí)有這樣的公式。求通用倍角公式的方法很多，這里采用歐拉公式進(jìn)行降維打擊方案。
我們知道：
兩邊n次方，得到
也即
上述等式右邊采用牛頓二項(xiàng)式定理展開，得到
再根據(jù)歐拉定理展開上述等式左邊，得到
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的公式（實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等），即可求得
變形為：
也即
也即，可以
是余弦函數(shù)的一元n次有理方程。
即
可以通過(guò)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的二元n次多項(xiàng)式表示。
當(dāng)n=2、3、4、5時(shí)，得到
上述公式的系數(shù)似無(wú)規(guī)律，不直觀，記起來(lái)很困難。那么有沒(méi)有必須要記憶，而直接寫出上述公式的方法呢？
還得從上述公式通過(guò)歐拉定理和牛頓二項(xiàng)式定理推導(dǎo)來(lái)的，其系數(shù)與楊輝三角形有關(guān)：
如
相關(guān)的楊輝三角數(shù)如下圖紅框：
如第8行的數(shù)據(jù)為1、18、70、28、1，根據(jù)該序列，可以直接寫出：
如第13行的數(shù)據(jù)為1、78、715、1716、1287、286、13，根據(jù)這個(gè)數(shù)列，可以直接寫出：
同樣地，
相關(guān)的楊輝三角數(shù)如下圖藍(lán)框：
如第9行數(shù)為9、84、126、36、1，據(jù)此直接寫出：
- 小結(jié)
利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，可以降維打擊和解決初等和中等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，如本章內(nèi)容利用歐拉定理、二項(xiàng)式定理，輕松解決高中三角函數(shù)任意倍數(shù)公式問(wèn)題。
- 本文相關(guān)知識(shí)：歐拉定理、二項(xiàng)式定理。
