1743年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉在一篇正式發(fā)表的論文中首次得到了如下這個(gè)結(jié)果

其中e是自然常數(shù)，其值約為2.718；cos 和 sin 分別是余弦和正弦函數(shù)；i是虛數(shù)，滿足 i2=-1。當(dāng)t=π時(shí) cos π＝-1，sin π＝0，于是上面公式變成

第二個(gè)公式更廣為流傳，短短的公式中聚集了五個(gè)最著名的數(shù)學(xué)常數(shù)：

0，1，i(虛數(shù))，π(圓周率)，e(自然對數(shù))

因此，第二個(gè)公式也被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的數(shù)學(xué)公式”

我們來看歐拉公式中的五個(gè)常識

0，1，i，π，e

和三個(gè)函數(shù)

e^x ，cos t，sin t

其中0和1無需多言，i在我們此前的文章《復(fù)數(shù)——幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的交響樂》中也徹底講明白了。圓周率π就是單位圓(半徑為1的圓)周長的一半。還有函數(shù) cos t，sin t ，它們分別表示(以原點(diǎn)為圓心的)單位圓周上，逆時(shí)針偏離(1,0)點(diǎn)弧長距離為t的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，

到了自然函數(shù)e和指數(shù)函數(shù)e^x問題就來了，

自然常數(shù)e為什么會稱為自然？

指數(shù)函數(shù)e^x當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，可以用乘方和開根號來定義，

對于一般實(shí)數(shù)是不是要用極限定義？

歐拉公式中指數(shù)函數(shù)e^x甚至取x值為虛數(shù)，那又該如何定義？

這些問題正是歐拉公式給許多人留下神秘印象的原因。要解釋清楚歐拉公式和這么多問題，我們該選擇從哪里入手作為起點(diǎn)呢？

我們選擇的起點(diǎn)就是用冪級數(shù)定義的函數(shù)E(x)

很多人在這里可能要問：

為什么選擇這個(gè)冪級數(shù)作為起點(diǎn)？

因?yàn)槲ㄓ腥绱?，才能最便捷最有效地理解歐拉公式，請拭目以待！

注意這個(gè)函數(shù)E(x)對于所有的復(fù)數(shù)x都是可以定義的，這一點(diǎn)非常重要。

好了，接下來，我們將從這個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，推導(dǎo)出兩個(gè)方程(微分方程，函數(shù)方程)和一個(gè)共軛等式，這三者對我們理解歐拉公式都是至關(guān)重要的！

我們直接推導(dǎo)這個(gè)函數(shù)方程：

大家注意推導(dǎo)中最后一步使用了二項(xiàng)式定理，實(shí)際上函數(shù)方程是二項(xiàng)式定理的生成函數(shù)表達(dá)式，換句話說

 (除了二項(xiàng)式定理外，還有很多組合恒等式可以寫成生成函數(shù)的形式，有興趣的朋友可以自主探索一下。)

好了言歸正傳，如果我們令

那么根據(jù)函數(shù)方程，

E(2)=E(1)E(1)=e²

E(3)=E(2)E(1)=e³

^........

所以E(x)=e^x 對所有整數(shù)x都是成立的。再根據(jù)函數(shù)方程

E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=e

又因?yàn)?span>E(1/2)，E(1/3)都是正數(shù)，所以

E(1/2)=e^1/2

E(1/3)=e^1/3

進(jìn)一步可以推導(dǎo)出E(x)=e^x 對所有有理數(shù)，對所有實(shí)數(shù)(取極限)都是成立的。所以E(x)是指數(shù)函數(shù)e^x 的推廣。對于復(fù)數(shù)x，我們也把E(x)寫成e^x。比如e^it就是：

逐項(xiàng)求微分就可以得到這個(gè)微分方程：

相信不少人都知道e可以用復(fù)利的方式來理解：

假如有人借給你1萬元高利貸，年化利息是100%，那么一年后結(jié)算，你要還他2萬元。但是如果他半年后結(jié)算，就是(1+1/2)萬，然后再借給你，半年后再結(jié)算，那就是(1+1/2)² 萬=2.25萬。如果每四個(gè)月結(jié)算一次，那一年后就是(1+1/3)³ 萬≈2.37萬。如果把一年分成許多個(gè)，甚至無數(shù)多個(gè)時(shí)間段，不停地，連續(xù)地復(fù)利結(jié)算，那最后的結(jié)果就是極限

這個(gè)極限也是約等于2.718。也就是說最先的1萬元，在一年的時(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利，最后變成約等于2.718萬元

另一方面，當(dāng)x從0連續(xù)變到1的時(shí)候，函數(shù)e^x的值是從1增長到e，而且e^x的微分方程表明，這種增長方式也是每個(gè)時(shí)刻都以自身的值作為增長率，這和上述的復(fù)利模式是相同的。所以我們很直觀地從e^x的微分方程看出

在講函數(shù)e^x的共軛等式之前，我們先復(fù)習(xí)一下共軛復(fù)數(shù)的概念：

復(fù)數(shù)z=x+yi的共軛復(fù)數(shù)是定義為z=x-yi，對應(yīng)到平面上就是兩個(gè)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)。

很容易驗(yàn)證，共軛和加法，乘方運(yùn)算是交換的：

兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的乘積剛好等于模的平方：

zz=|z|²

這個(gè)等式的推導(dǎo)也很簡單：

共軛等式告訴我們，函數(shù)e^x在一對共軛復(fù)數(shù)處取的值也是互為共軛的。

我們現(xiàn)在重新來審視歐拉公式

這個(gè)公式的左邊是一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的復(fù)值函數(shù)，也就是說，對于每個(gè)實(shí)數(shù)t，都對應(yīng)著唯一的復(fù)數(shù)e^it。我們在文章《復(fù)數(shù)——幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的交響樂》中講過，復(fù)數(shù)和平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)。所以如果我們把數(shù)軸看成時(shí)間直線的話，

e^it就可以看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上的運(yùn)動(dòng)，在t 這個(gè)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置是e^it。

但是這個(gè)公式的右邊也是一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的復(fù)值函數(shù)，也可以看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上的運(yùn)動(dòng)。我們在第一節(jié)中說過，函數(shù) cos t，sin t 分別表示(以原點(diǎn)為圓心的)單位圓周上，逆時(shí)針偏離(1,0)點(diǎn)弧長距離為t的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，

也就是說，在時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上走過長度為t的路程。換句話說，歐拉公式的右邊代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為1。

所以，我們要說明歐拉公式的左邊e^it也代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)。我們先來說明為什么函數(shù)e^it的值總是落在單位圓周上。根據(jù)e^x的共軛等式

而根據(jù)e^x的函數(shù)方程

所以e^it也確實(shí)代表質(zhì)點(diǎn)在單位圓上的運(yùn)動(dòng)。如何說明這種運(yùn)動(dòng)是逆時(shí)針勻速呢？我們可以看它的速度向量，也就是e^it的導(dǎo)函數(shù)。根據(jù)e^x的微分方程，我們有

所以，每個(gè)時(shí)刻的速度向量都是位置向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，

因此e^it確實(shí)也代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度也為1。

所以，既然左右兩邊的函數(shù)代表的是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)，歐拉公式自然就成立了。另外，在時(shí)間 t=π時(shí)，質(zhì)點(diǎn)剛好走過半圓周，達(dá)到點(diǎn)(-1,0)。這時(shí)歐拉公式就變成

根據(jù)e^x的函數(shù)方程，

利用歐拉公式，這個(gè)等式可以寫成

大家能不能看出來這實(shí)質(zhì)上就是三角函數(shù)的和差化積公式。實(shí)際上，在以歐拉公式為背景之下

上一節(jié)講過，歐拉公式可以看作單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在我們把歐拉公式和函數(shù)e^it看成是實(shí)數(shù)軸到單位圓的函數(shù)或映射。

直觀上看，這種映射可以看作線環(huán)繞圓周

其實(shí)，實(shí)數(shù)軸和單位圓都是最特殊的李群。我們簡單說明一下，首先實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，有單位元0，還有加法運(yùn)算的逆運(yùn)算減法，而且這些運(yùn)算都可以看成是二元光滑(無限可微)函數(shù)，這些性質(zhì)大體上構(gòu)成了李群的定義。類似地，所有模為1的復(fù)數(shù)(對應(yīng)單位圓上的點(diǎn))上有乘法運(yùn)算，也是可逆的，也有單位元1，也滿足光滑條件，所以也是一個(gè)李群。

根據(jù)e^x的函數(shù)方程，

所以函數(shù)e^it把實(shí)數(shù)的加法轉(zhuǎn)化成單位圓上的乘法，因此歐拉公式可以理解為兩個(gè)李群之間的同態(tài)，這是李群同態(tài)最簡單的例子。(所謂的同態(tài)就是一個(gè)李群到另一個(gè)李群的光滑映射，把單位元映射成單位元，且把一個(gè)李群的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成另一個(gè)李群的運(yùn)算)

從拓?fù)涞慕嵌葋砜?，歐拉公式所表示的實(shí)數(shù)軸到單位圓的映射其實(shí)是單位圓的萬有復(fù)疊映射。這個(gè)萬有復(fù)疊映射表明單位圓的基本群(一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?是非平凡的，而這個(gè)事實(shí)是代數(shù)學(xué)基本定理的拓?fù)渥C明的基石。

實(shí)數(shù)軸到單位圓的這個(gè)映射還可以從李代數(shù)的角度來理解，這時(shí)，實(shí)數(shù)軸代表單位圓在單位元處的切空間。

這種映射可以推廣到任意李群和李代數(shù)，不過我們只提一個(gè)簡單的推廣：行列式非零的n階方陣群(運(yùn)算是矩陣乘法)，和n階方陣?yán)畲鷶?shù)。(注意單位圓上的復(fù)數(shù)可以看成是1階方陣)

這個(gè)時(shí)候的映射是定義為：

n階方陣→ 行列式非零的n階方陣

大家注意這是指數(shù)函數(shù)e^x的冪級數(shù)展開的直接推廣，這也是我們選擇e^x的冪級數(shù)作為起點(diǎn)的另一個(gè)原因！

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