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文末左下角”閱讀原文“查看《初中數(shù)學(xué)型題思路分析》.  已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0）的圖象求系數(shù)a、b、c以及相應(yīng)的關(guān)系式。小章魚，你怎么看？ 我……我，好好看看！  有點(diǎn)難吧？送你一件制勝法寶——數(shù)形結(jié)合思想。拿走！ 基 礎(chǔ)知識(shí)  1、由拋物線的開口方向確定a的大小 2、由對(duì)稱軸的位置確定b、ab
 3.由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定c的大小
4.由拋物線與x軸的交點(diǎn)位置確定Δ=b2-4ac
5.由對(duì)稱軸為x=±1時(shí)確定2a±b
特殊式子 1 ● a+b+c → 令x=1，看縱坐標(biāo)
2● a-b+c → 令x=-1，看縱坐標(biāo)
3● 4a+2b+c → 令x=2，看縱坐標(biāo)
4● 4a-2b+c → 令x=-2，看縱坐標(biāo)
題型1 考察知識(shí)：判斷abc的符號(hào) 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷abc＞0是否正確； 解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)開口方向判斷a的符號(hào)；②根據(jù)對(duì)稱軸的位置以及a的符號(hào)，判斷b的符號(hào)；主要運(yùn)用“左同右異”四字口訣解決問題；③根據(jù)拋物線與y的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)； 題型2 考察知識(shí)：尋找特殊點(diǎn)產(chǎn)生的特殊代數(shù)式 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷a+b+c＜0是否正確 解題思路：①結(jié)合式子，判斷二次函數(shù)上的特殊點(diǎn)；②利用數(shù)形結(jié)合思想，判斷代數(shù)式的符號(hào)； 特別說明：在第一部分第6點(diǎn)里面寫明了x=±1和x=±2時(shí)候的特殊式子，對(duì)于自變量取整數(shù)的特殊式子，我們不難發(fā)現(xiàn)；但是對(duì)于自變量取分?jǐn)?shù)的時(shí)候，學(xué)生卻往往容易忽略，沒有思維，比如x=±1/2時(shí)，得出的代數(shù)式應(yīng)該是1/4a±1/2b+c，類似這種需要多練習(xí)； 題型3 考察知識(shí)：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn) 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷b2＞4ac是否正確； 解題思路：①觀察函數(shù)圖象是否完整；②如果不完整，請(qǐng)補(bǔ)充完整，主要是補(bǔ)充與x軸的交點(diǎn)；③根據(jù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷△的符號(hào)； 題型4 考察知識(shí)：頂點(diǎn)縱坐標(biāo) 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷b2-4ac＞8a是否正確； 解題思路：①首先這類式子不僅只有b2-4ac，還有別的字母（一般是a）或者數(shù)字；②聯(lián)想到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)進(jìn)行解題；③所以結(jié)合圖象判斷頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值或者取值范圍； 特別說明：此類題型，一定要與題型3區(qū)別開來。 題型5 考察知識(shí)：二次函數(shù)對(duì)稱軸 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷2a±b＞0是否正確； 解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)圖象確定對(duì)稱軸方程或者范圍；②如果對(duì)稱軸為x=1，則可得到2a+b=0；如果對(duì)稱軸為x=-1，則可得到2a-b=0；③對(duì)稱軸為其它具體確定的數(shù)，做法類似；④如果對(duì)稱軸不確定，能確定范圍，則一樣可以求解，比如對(duì)稱軸在1和2之間，且開口向上，則可得到1＜-b/2a＜2，則可得到2a+b＜0或者4a+b＞0； 特別說明：一般情況下，只要題目中讓我們判斷的關(guān)系中只有a和b，則讓對(duì)稱軸著手進(jìn)行考慮和計(jì)算。 題型6 考察知識(shí)：二次函數(shù)對(duì)稱軸拓展 出題方式：結(jié)合圖象，請(qǐng)判斷3a+c＞0是否正確； 解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)圖象確定對(duì)稱軸方程或者范圍；②以上面式子為例，如果對(duì)稱軸為x=-1，則可得到2a-b=0；即可以得到b=2a；③所以3a+c=a+2a+c=a+b+c,即3a+c的值就等于x=1時(shí)二次函數(shù)的取值；其它代數(shù)式的解法類似上面的解題思路。 特別說明：此類題型，一般讓我們判斷的代數(shù)式中只有a、c或者b、c,我們首先明確考點(diǎn)就是對(duì)稱軸方程，其次用消元法進(jìn)行求解，最后得出代數(shù)式關(guān)系。 題型7 考察知識(shí)：數(shù)形結(jié)合+代數(shù)式技術(shù)處理 出題方式：結(jié)合圖象，已知二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=1,二次函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)判斷am2+bm＞a+b是否正確； 解題思路：①首先明確此類題型進(jìn)行計(jì)算，一般是無法解決的；②觀察式子，進(jìn)行技術(shù)處理，兩邊同時(shí)加上c，則可判斷am2+bm+c＞a+b+c是否正確；③左邊即當(dāng)二次函數(shù)自變量取值為m時(shí)的值，右邊為二次函數(shù)自變量取值為1時(shí)的值；④若二次函數(shù)開口向上，則am2+bm+c≥a+b+c；若若二次函數(shù)開口向下，則am2+bm+c≤a+b+c； 特別說明：此類題型，一定要思路清晰并且利用數(shù)形結(jié)合思想去解題，不要盲目做題。 例1、已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：① a+b+c＜0；②a－b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0 .其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ?。?/span> A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
解析：由圖可知，開口向下，a＜0,對(duì)稱軸為正，即x=-b/2a＞0，ab異號(hào)，b＞0，與y軸交點(diǎn)在y軸上方，c＞0 ① 當(dāng)x=1時(shí)，結(jié)合圖像，此時(shí)y=a+b+c＞0, ①錯(cuò)誤 ② 當(dāng)x=-1時(shí)，結(jié)合圖像，此時(shí)y=a-b+c＜0, ②正確 ③由圖可知x=-b/2a＜1，a＜0,變形得到b+2a＜0,③正確 ④ a＜0，b＞0，c＞0，∴ abc＜0 ，④錯(cuò)誤， 答案：B 大部分學(xué)生這類都能做，下面我們看個(gè)進(jìn)階版 例題1、如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的一部分；圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱軸為x＝－1，給出四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④b＞4a．其中正確的是________________．(填序號(hào))
解析：①補(bǔ)全圖像，由圖可知拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0,①正確 ②對(duì)稱軸,變形得2a-b=0,②錯(cuò)誤 ③當(dāng)x=-1時(shí)，a－b＋c＞0,③錯(cuò)誤 ④怎么分析呢？ 這個(gè)時(shí)候就需要“對(duì)稱軸+兩交點(diǎn)”來消元 結(jié)合圖像我們知道： 當(dāng)x=-3時(shí)，9a-3b+c=0， （1） 當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c＞0， （2） 將（1）式帶入（2）可消掉c，得b＞4a∴④正確 方法總結(jié) 解決這類題型一般會(huì)用到三種方法： 1、數(shù)形結(jié)合法；2、賦值法；3、消元法。 |
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