我坦率承認(rèn)，我從未對(duì)物理或幾何的學(xué)習(xí)或研究抱有興趣，除非能通過它們獲得有助于目前需要的某種知識(shí)……能服務(wù)于生活的幸福與方便，能有助于保持健康，有助于施展某種技藝……我看到好大一部分技藝扎根于幾何，如建筑上的采石工藝，制作日規(guī)，特別是透視法。——德薩格

一、幾何的重生

幾何上重要?jiǎng)?chuàng)作活動(dòng)的復(fù)興晚于代數(shù)。從帕普斯時(shí)代起到1600年，除了創(chuàng)立透視法的數(shù)學(xué)體系以及文藝復(fù)興時(shí)代藝術(shù)家偶爾作出的幾何研究之外，幾何方面很少有成果的工作。阿波羅尼奧斯《圓錐曲線》的許多印刷版本的出現(xiàn)，引起了人們對(duì)幾何的一些興趣。

要使數(shù)學(xué)家的心思納入新的軌道，所需要的而且確實(shí)出現(xiàn)的是新的問題。有一個(gè)問題是早已被艾伯蒂提出的：一個(gè)實(shí)物的同一投影的兩個(gè)截景有什么共同的幾何性質(zhì)？開普勒在他1609年的著作中對(duì)圓錐曲線的應(yīng)用，有力地推動(dòng)人們?nèi)ブ匦驴疾爝@些曲線，并尋求其對(duì)天文有用的性質(zhì)。17世紀(jì)初發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡之后，光學(xué)受到人們大為增加的重視。給這些儀器設(shè)計(jì)透鏡成了一件大事，這意味著人們要注意研究曲面，而因?yàn)橥哥R的表面都是旋轉(zhuǎn)面，因而又要注重研究母曲線。地理探索產(chǎn)生了對(duì)地圖的需要，引起人們研究在球面上和地圖上表示的航行路線。產(chǎn)生了地球在轉(zhuǎn)動(dòng)的思想之后，需要新的力學(xué)原理來(lái)計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體的路徑，這就又需要研究曲線。因?yàn)槿藗円涯苡么笈诎雅趶椛涞綆装俅a的距離之外，預(yù)先算好彈道和射程就成為極端重要的事。開普勒的《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》（Nova Stereometria Doliorum Vinariorum，1615）掀起了計(jì)算面積和體積的新的研究工作。

數(shù)學(xué)家開始感到希臘人的證明方法缺乏一般性，幾乎每個(gè)定理都要想出一種特殊的方法來(lái)證。指出這一點(diǎn)的是早在1527年的阿格里帕·馮·內(nèi)特海姆（Agrippa von Nettesheim，1486—1532）和莫魯里克斯。

對(duì)新問題的大部分反應(yīng)引起了對(duì)舊課題的小變動(dòng)。人們一開頭就把圓錐曲線定義為平面上的軌跡，而不再像阿波羅尼斯那樣定義為圓錐面的截線了。例如，蒙特在1579年把橢圓定義為與兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。其它古希臘人研究過的許多曲線如尼科梅德斯蚌線、狄奧克萊斯蔓葉線、阿基米德螺線和希皮亞斯割圓曲線都被重新研究。一些新的曲線也研究出來(lái)了，著名的如旋輪線（即擺線）。所有這種工作雖都有助于傳播希臘人的學(xué)術(shù)成就，但都沒有提出什么新的定理或新的證明方法。第一項(xiàng)有成就的創(chuàng)新工作是由于回答畫家提出的問題而產(chǎn)生的。

二、透視法工作中所提出的問題

畫家們搞出來(lái)的聚焦透視法體系，基本思想是投影和截面取景原理?，F(xiàn)設(shè)人眼在O處觀察水平面上的一個(gè)矩形ABCD。從O到矩形四邊上各點(diǎn)的連線便形成一投射棱錐，其中OA、OB、OC及OD是四根典型直線。若在人眼和矩形間插入一平面，則投射錐上諸直線將穿過那個(gè)平面，并在其上勾畫出四邊形A'B'C'D'。截景和原矩形有什么共同的幾何性質(zhì)？原形和截景既不重合又非相似，它們也不會(huì)有相同的面積，事實(shí)上截景未必是個(gè)矩形。

這問題的一個(gè)推廣是：設(shè)有兩個(gè)不同的平面以任意角度與這同一個(gè)投射錐相截得到兩個(gè)不同的截景，它們有什么共同的性質(zhì)？這問題還可進(jìn)一步推廣。設(shè)矩形ABCD是從兩個(gè)不同的點(diǎn)O'和O'來(lái)觀察，于是就有兩個(gè)投射錐。若在每個(gè)投射錐里各取一截景，則由于每一截景應(yīng)與矩形有某些共同的幾何性質(zhì)，兩截景也應(yīng)有某些共同的幾何性質(zhì)。

17世紀(jì)的一些幾何學(xué)者開始找這些問題的答案。這些方法和結(jié)果是幾何一個(gè)新分支的開端，這個(gè)分支到了19世紀(jì)被人稱為射影幾何。

二、笛沙格的工作

直接尋找上述問題答案的第一個(gè)人是自學(xué)成名的笛沙格（1591—1661）。他先是陸軍軍官，其后成為一個(gè)工程師和建筑師。笛沙格通曉阿波羅尼奧斯的著作，并覺得他能發(fā)明新方法來(lái)證圓錐曲線的定理。他確實(shí)這樣做了，并且充分認(rèn)識(shí)到他這些方法的功效。他的頭一步工作是匯集許多有用的定理，起初是通過書信和傳單傳播他獲得的成果。他還在巴黎免費(fèi)給人講課。后來(lái)他寫了幾本書，其中一本是教兒童學(xué)唱的書，另一本講幾何在泥瓦工和石工方面的應(yīng)用。

他的主要著作是《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》（Brouillon project d'une atteinte aux événemens desrencontresdu c?ne avec un plan，1639）。在這書之前他于1636年出版了關(guān)于透視法的一本小冊(cè)子。在這部主要著作中，他論述了現(xiàn)今所謂的幾何中的射影法。

1845年沙勒（MichelChasles）偶然發(fā)現(xiàn)了拉伊爾（Philippe de La Hire）手抄的復(fù)本，由波德拉（N. G. Poudra）加以復(fù)制，并由他在1864年編輯了笛沙格的著作。1950年左右穆瓦齊（Pierre Moisy）在巴黎國(guó)立圖書館里發(fā)現(xiàn)了一本1639年的原版本并復(fù)制發(fā)行。這新發(fā)現(xiàn)的版本中包含了重要的附錄和笛沙格所作的訂正。笛沙格關(guān)于三角形的主要定理和其他一些定理則于1648年發(fā)表在他朋友博斯（Abraham Bosse，1602—1676）所著的一本關(guān)于透視法的書的附錄中。博斯在他的這本《運(yùn)用笛沙格透視法的一般講解》（Manière universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective）中打算用通俗方式講解笛沙格的一些實(shí)用方法。

笛沙格用了一些奇怪的術(shù)語(yǔ)，使他的書難于閱讀。除了他的朋友梅森、笛卡爾、帕斯卡和費(fèi)馬外，他的同時(shí)代人都稱他為怪人。笛卡爾知道了笛沙格工作的細(xì)節(jié)之后，對(duì)之高度推崇。費(fèi)馬認(rèn)為笛沙格是圓錐曲線理論的真正奠基者，并且覺得他寫的書思想豐富。但由于一般人未能欣賞，使笛沙格灰心喪氣，退休回到老家。

艾伯蒂指出，在作畫的實(shí)際圖景里，畫面上的平行線（除非它們平行于玻璃屏板或畫面）必須畫成相交于某一點(diǎn)。例如下圖中的直線A'B'及C'D'相交于O'。這點(diǎn)O'并不對(duì)應(yīng)于AB或CD上的任何普通的點(diǎn)，叫做沒影點(diǎn)，而A'B'或C'D'上任何其他的點(diǎn)都分別對(duì)應(yīng)于AB或CD上某個(gè)確定的點(diǎn)。

笛沙格在AB上以及CD上引入一個(gè)新的點(diǎn)，叫做無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，把它看成兩平行線的公共點(diǎn)。平行于AB或CD的任何直線上都有這同一個(gè)點(diǎn)，并且都在該處與AB或CD相交。方向不同于AB或CD的任何一組平行線都同樣有一個(gè)公共的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。由于平行線組的數(shù)目是無(wú)窮的，笛沙格的規(guī)定就是在歐幾里得平面上引入了無(wú)窮多新的點(diǎn)。他進(jìn)一步假定所有這些點(diǎn)都在同一直線上，而這直線對(duì)應(yīng)于截景上的水平線或沒影直線。這樣就在歐幾里得平面的已有直線中添入了一根新的直線。他假定一組平行平面上都有一根公共的無(wú)窮遠(yuǎn)線；就是說(shuō)，所有平行平面都相交于一直線。

平行線相交于每根線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這一規(guī)定是歐幾里得幾何里一件方便的事，因它避免了特殊情形。現(xiàn)在就可以說(shuō)任何兩直線必然恰交于一點(diǎn)。

開普勒也（在1604年）決定給平行線增添一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，但出于不同的理由。如下圖，對(duì)于通過P而交于l的每根直線，有l(wèi)上的一點(diǎn)Q與之對(duì)應(yīng)。但對(duì)于過P而平行于l的直線PR，卻沒有l(wèi)上的點(diǎn)同它對(duì)應(yīng)。但若增添PR及l(fā)共有的一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，開普勒便可斷言通過P的每根直線都交于l。又，在Q往右移向無(wú)窮遠(yuǎn)而PQ變?yōu)镻R后，可把PR與l的交點(diǎn)看成P左邊的一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而當(dāng)PR繼續(xù)繞P旋轉(zhuǎn)時(shí)，PR與l的交點(diǎn)Q'就從左邊移近。開普勒（以及笛沙格）認(rèn)為直線的兩端是在無(wú)窮遠(yuǎn)處會(huì)合的，因而認(rèn)為直線和圓有同樣的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，開普勒確實(shí)把直線看作是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓。

引入了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)及無(wú)窮遠(yuǎn)線后，笛沙格就敘述了一個(gè)基本定理（笛沙格定理）：對(duì)于從一點(diǎn)透視出去的兩個(gè)三角形，它們間成對(duì)的對(duì)應(yīng)邊AB與A'B'、BC與B'C'以及AC與A'C'（或它們的延長(zhǎng)線）相交的三個(gè)交點(diǎn)在同一直線上。反之，若兩三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于一直線上的三點(diǎn)，則連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的三根連線必交于一點(diǎn)。在下圖中，這定理告訴我們，P、Q與R在一直線上。

笛沙格對(duì)二維和三維兩種情形都證明了正定理和逆定理。

在博斯的1648年著作的附錄里記有笛沙格的另一基本結(jié)論：交比在投影下的不變性。一直線上四點(diǎn)形成的諸線段的交比定義為(BA /BC) / (DA /DC)。帕普斯早就引入過這個(gè)比，并證明了在AD及A'D'上的交比是一樣的。梅涅勞斯也有一個(gè)關(guān)于球面上大圓弧的類似定理。但他們都不是從投射錐和截景的觀點(diǎn)來(lái)考慮的。而笛沙格則是這樣考慮的，并且證明了投射線的每個(gè)截線上的交比都相等。

德薩格在他的主要著作（1639）里處理了對(duì)合的概念，這是帕普斯早就引入而由笛沙格定名的。直線上若干對(duì)點(diǎn)A、B，A'、B'，以及A'、B'等說(shuō)是對(duì)合的，如果該直線上有一特定點(diǎn)O（名叫對(duì)合中心），使OA * OB = OA' * OB'= OA' * OB'等。點(diǎn)A和B，A'和B'，以及A'和B'叫做共軛點(diǎn)。若有一點(diǎn)E使OA * OB = OE2，則E叫做二重點(diǎn)。還有另一個(gè)二重點(diǎn)F，而O是EF的中點(diǎn)。O的共軛點(diǎn)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。笛沙格在一根與三角形三邊相交的直線上應(yīng)用梅涅勞斯定理，證明在A、B、A'及B'有對(duì)合關(guān)系時(shí)，若從點(diǎn)P把它們投射到另一直線上，成為點(diǎn)A1、B1、A1'及B1'，則這第二組點(diǎn)也是對(duì)合的。

關(guān)于對(duì)合關(guān)系，笛沙格證明了一個(gè)主要定理。設(shè)B、C、D及E是平面上任意四點(diǎn)，其中沒有任何三點(diǎn)是共線的，四點(diǎn)就確定了六根直線，形成完全四邊形的各邊。對(duì)邊是彼此不相交于四點(diǎn)之一的兩邊，包括兩條對(duì)角線。三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)O、F與A是四邊形的對(duì)邊點(diǎn)。今設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)B、C、D、E在一圓上，如果一直線PM交各組對(duì)邊于P、Q、I、K以及G、H，交圓于L、M，那么這四組點(diǎn)是四組對(duì)合的點(diǎn)。

另外，設(shè)在圖形平面外一點(diǎn)作投射，原圖里的圓就變成截景里的一個(gè)圓錐曲線，原圖里的每根直線變成截景里的某根直線；特別是圓內(nèi)接四邊形就變成圓錐曲線內(nèi)接四邊形。由于對(duì)合關(guān)系在投影后還是對(duì)合關(guān)系，故得出一個(gè)重要而普遍的結(jié)論：若作一圓錐曲線的內(nèi)接四邊形，則任一不過頂點(diǎn)的直線與圓錐曲線以及與完全四邊形對(duì)邊相交的四對(duì)點(diǎn)有對(duì)合關(guān)系。

笛沙格其次引入了調(diào)和點(diǎn)組（也稱“調(diào)和點(diǎn)列”）的概念。點(diǎn)A、B、E及F說(shuō)是一調(diào)和點(diǎn)組，如果相對(duì)于對(duì)合關(guān)系中的二重點(diǎn)E和F來(lái)說(shuō)，A與B是共軛點(diǎn)。（現(xiàn)今定義交比等于-1的點(diǎn)組為調(diào)和點(diǎn)組，那是以后的說(shuō)法。）由于對(duì)合關(guān)系經(jīng)投射后仍為對(duì)合關(guān)系，故調(diào)和點(diǎn)組經(jīng)投射后仍為調(diào)和點(diǎn)組。接著笛沙格又證明若調(diào)和點(diǎn)組中的一點(diǎn)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則與之相配的另一點(diǎn)平分其他兩點(diǎn)間的線段。又，若A、B、A'及B'是調(diào)和點(diǎn)組（下圖），從O作投射，則當(dāng)OA'垂直于OB'時(shí)，OA'平分AOB角，而OB'平分它的補(bǔ)角。

有了調(diào)和點(diǎn)組的概念之后，笛沙格進(jìn)而闡釋極點(diǎn)與極線的理論。如下圖，從圓外一點(diǎn)A出發(fā)交圓于C及D的任一直線上，必有第四個(gè)調(diào)和點(diǎn)B。所有的第四調(diào)和點(diǎn)都位于一直線上，這直線BB'就是點(diǎn)A的極線。圓內(nèi)接完全四邊形CDD'C'以A為一個(gè)對(duì)邊點(diǎn)，則A的極線將通過這完全四邊形的另外兩個(gè)對(duì)邊點(diǎn)（R是其中一個(gè)）。當(dāng)A在圓內(nèi)時(shí)，同樣的斷言也成立。若A在圓外，則A的極線是從A所引圓的兩根切線的切點(diǎn)P、Q的連線。

對(duì)于圓證明了上述斷言之后，笛沙格又用從圖形平面外一點(diǎn)所作的投射及其一個(gè)截景來(lái)證明這些斷言對(duì)任何圓錐曲線都成立。

笛沙格把圓錐曲線的直徑看作無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線。設(shè)有一組平行線與圓錐曲線相交，若A'B'是其中一直線，則A'B'上關(guān)于A'及B'而言的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛點(diǎn)是弦A'B'的中點(diǎn)B。平行弦族的這些中點(diǎn)位于一根直線上，而這直線按阿波羅尼奧斯的定義也是直徑。

德薩格不僅引入了無(wú)窮遠(yuǎn)元素等新的概念以及許多新的定理，尤其重要的是他引入了以投射和截景作為一種新的證明方法，而且通過投射和截景統(tǒng)一處理了幾種不同類型的圓錐曲線，而阿波羅尼奧斯則是把每類圓錐曲線分別處理的。在這一個(gè)天才輩出的世紀(jì)里，笛沙格是最有獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。

四、帕斯卡和拉伊爾的工作

對(duì)射影幾何作出貢獻(xiàn)的第二個(gè)主要人物是帕斯卡（1623—1662）。他生于法國(guó)克萊蒙（Clermont），從小多病，并在其短暫的一生中身體一直不好。在帕斯卡8歲時(shí)，他家遷到巴黎。早在孩提時(shí)，他就同他父親參加每周一次的“梅森學(xué)院”（其后變?yōu)樽杂蓪W(xué)院，并于1666年變?yōu)榭茖W(xué)院）的例會(huì)。當(dāng)時(shí)會(huì)員中有梅森神甫、笛沙格、羅貝瓦爾（法蘭西學(xué)院數(shù)學(xué)教授）、米道奇（Claude Mydorge，1585—1647）和費(fèi)馬。

帕斯卡把相當(dāng)多的時(shí)間和精力用于研究射影幾何。他是微積分的創(chuàng)始人之一，并在這方面對(duì)萊布尼茨有所影響。他也參與了開創(chuàng)概率論的工作。他在19歲的時(shí)候發(fā)明了第一架計(jì)算機(jī)，以幫助他父親干課稅員的工作。他在物理上也有些貢獻(xiàn)，如獨(dú)創(chuàng)一種抽真空的器械，發(fā)現(xiàn)空氣重量隨高度的增加而遞減，闡明液體中的壓力概念。

帕斯卡是法文散文大師，他的《思想錄Pensées》和《致外省人書Lettres provinciales》是經(jīng)典文學(xué)作品。他也是出名的哲學(xué)辯論家。他從童年時(shí)期起便想把宗教信仰和數(shù)學(xué)及科學(xué)的理性主義調(diào)和起來(lái)，而在這兩方面的興趣在他一生中都分去了他的精力和時(shí)間。他也和笛卡爾一樣，相信科學(xué)真理必須清楚而分明地符合感性認(rèn)識(shí)或符合理智，或者是這類真理的邏輯推論。他認(rèn)為在科學(xué)和數(shù)學(xué)問題上不該有故弄玄虛之處。“凡有關(guān)信仰之事不能為理智所考慮?！痹诳茖W(xué)問題上只牽涉我們的自然思維，權(quán)威是無(wú)用的，科學(xué)知識(shí)只能建立在理智的基礎(chǔ)上。但信仰的奧秘是感覺和理性所不能察知的，所以必須憑圣經(jīng)的權(quán)威加以接受。他譴責(zé)那些在科學(xué)上濫用權(quán)威以及在神學(xué)上使用理智的人。然而信仰的境界比理智更高出一層。

宗教在他24歲以后主宰了他的思想，雖然他仍繼續(xù)從事數(shù)學(xué)和科學(xué)工作。他認(rèn)為單純作為一種樂趣來(lái)從事科學(xué)工作是錯(cuò)誤的。以樂趣為主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因那樣的人懷有“一種對(duì)學(xué)問的貪欲之心，對(duì)知識(shí)的無(wú)厭嗜求……這種對(duì)科學(xué)的鉆研首先出于以自我為中心的關(guān)懷，而不是著眼于在周圍一切自然現(xiàn)象中找出神的存在和榮耀”。

他的數(shù)學(xué)工作主要是憑直觀的，他預(yù)告了重大的結(jié)果，作出了高明的猜測(cè)，看出了推理和運(yùn)算的捷徑。在他生命的后期，他把一切真理之源歸之于直觀?！靶挠衅淅恚抢碇苤??！薄拔粗O真理者，才發(fā)現(xiàn)需用理智這種遲緩迂回的方法?！薄板钊鯚o(wú)能的理智啊，你該有自知之明?！?/p>

1660年8月10日帕斯卡去世前不久給費(fèi)馬的一封信中寫道：“隨便談到數(shù)學(xué)，我覺得它是對(duì)精神的最高鍛煉；但同時(shí)我又覺得它是那么無(wú)用，以致使我覺得一個(gè)單純的數(shù)學(xué)家同一個(gè)普通工匠極少差別。我也覺得它是世界上最可愛的職業(yè)，然而僅僅是一種職業(yè)；我也常說(shuō)想[學(xué)數(shù)學(xué)]是件好事，但為此費(fèi)力則不然。所以我不愿為數(shù)學(xué)而多走兩步，而我想你也會(huì)深有同感?！迸了箍ㄊ莻€(gè)多才多藝然而性格矛盾的人。

笛沙格敦促帕斯卡研究投射和取截景法，并建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化為少數(shù)幾個(gè)基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。1639年他16歲時(shí)就用投射法寫了關(guān)于圓錐曲線的著作。這本著作現(xiàn)已失傳，但萊布尼茨確于1675年在巴黎見過，并對(duì)帕斯卡的侄甥談過這作品的內(nèi)容。有一篇長(zhǎng)約8頁(yè)的《略論圓錐曲線》（Essays on Conics，1640）當(dāng)時(shí)只有少數(shù)人知道，旋即失傳，直到1779年才重新發(fā)現(xiàn)。笛卡爾曾見過1640年的這篇短文，覺得如此出色，竟然不相信它是一個(gè)這樣年輕的人寫的。

帕斯卡在射影幾何里的一個(gè)最著名的結(jié)果是現(xiàn)今以他的名字命名的定理。若一六邊形內(nèi)接于一圓錐曲線，則每?jī)蓷l對(duì)邊相交而得的三點(diǎn)在同一直線上。

通過投射和取截景，它必對(duì)所有圓錐曲線都成立。關(guān)于兩直線的每根線上有三點(diǎn)的那個(gè)帕普斯定理也是上述定理的一個(gè)特例。當(dāng)圓錐曲線退化為兩條直線（例如當(dāng)雙曲線退化為它的漸近線時(shí)），就得出帕普斯定理。

帕斯卡定理的逆定理（即若一六邊形的三對(duì)對(duì)邊的三個(gè)交點(diǎn)共線，則六邊形頂點(diǎn)在一圓錐曲線上）也是成立的，但帕斯卡并沒有加以考慮。

投射和取截景法也為拉伊爾（1640—1718）所接受。拉伊爾年輕時(shí)是個(gè)畫家，以后轉(zhuǎn)而研究數(shù)學(xué)和天文。拉伊爾也同帕斯卡一樣受了笛沙格的影響，并在圓錐曲線方面做了相當(dāng)多的工作。有些結(jié)果發(fā)表在1673年和1679年的論文中，是按希臘人的綜合方法但采用了新的觀點(diǎn)，例如以焦點(diǎn)—距離來(lái)定義橢圓及雙曲線，有些結(jié)果應(yīng)用了笛卡爾和費(fèi)馬的解析幾何。他的最大著作是《圓錐曲線》（Sectiones Conicae，1685），這是專門研究射影幾何的。

他先證明了牽涉到調(diào)和點(diǎn)組的圓的性質(zhì)，然后通過投射和取截景推廣到任一類圓錐曲線。在這部著作中，雖然漏掉了一些材料，如笛沙格的對(duì)合定理和帕斯卡定理，但幾乎包括了現(xiàn)今關(guān)于圓錐曲線的所有熟知的性質(zhì)，并且都用綜合方法證明，作出了有系統(tǒng)的陳述。拉伊爾幾乎全部證明了阿波羅尼奧斯的364個(gè)關(guān)于圓錐曲線的定理。書中也有關(guān)于四邊形的調(diào)和性質(zhì)。他打算以此表明投射法比阿波羅尼奧斯的方法高明，也比當(dāng)時(shí)已經(jīng)創(chuàng)立的笛卡爾和費(fèi)馬的新的解析方法優(yōu)越。

總的說(shuō)來(lái)，拉伊爾所得結(jié)果并未超出笛沙格的和帕斯卡的。但在極點(diǎn)和極線理論上他有一個(gè)重大的新結(jié)果。他證得：若一點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則該點(diǎn)的極線將繞那直線的極點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，若Q（下圖）沿直線p移動(dòng)，則Q的極線繞直線p的極點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)。

五、新原理的出現(xiàn)

在笛沙格、帕斯卡和拉伊爾這些人得出的一些特殊定理之外和之上，當(dāng)時(shí)開始出現(xiàn)一些新的思想和觀點(diǎn)。第一個(gè)是關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從一個(gè)形狀連續(xù)變到另一形狀的思想，這里的數(shù)學(xué)對(duì)象就是幾何圖形。從開普勒1604年的《天文學(xué)的光學(xué)部分》（Astronomiaepars Optica）里，可以看出他似乎是第一個(gè)掌握了這一事實(shí)的人：拋物線、橢圓、雙曲線、圓、由兩直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中之一連續(xù)變?yōu)榱硪粋€(gè)。開普勒設(shè)想一個(gè)焦點(diǎn)固定而讓另一個(gè)焦點(diǎn)在它們的連線上移動(dòng)。若讓動(dòng)點(diǎn)移向無(wú)窮遠(yuǎn)（同時(shí)讓偏心率趨于1），橢圓就成為拋物線；然后讓那個(gè)動(dòng)焦點(diǎn)又出現(xiàn)在定焦點(diǎn)的另一方，這時(shí)拋物線就變成雙曲線。當(dāng)兩焦點(diǎn)合而為一，橢圓變成圓；當(dāng)雙曲線的兩焦點(diǎn)合在一起，雙曲線便退化為兩直線。要使一焦點(diǎn)從一個(gè)方向移往無(wú)窮遠(yuǎn)而又從另一個(gè)方向重新出現(xiàn)，開普勒就假定了直線向兩端無(wú)限延伸之點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處合成一點(diǎn)，從而賦予直線以圓的性質(zhì)。雖然在直觀上這樣看待直線并不令人滿意，但這種思想在邏輯上是合理的，而且事實(shí)上在19世紀(jì)的射影幾何里成為一個(gè)基本定理。開普勒又指出，若連續(xù)改變那個(gè)截割圓錐的平面的傾角，便可得各種不同的圓錐曲線。

帕斯卡也應(yīng)用了圖形連續(xù)變化的觀點(diǎn)。他讓六邊形的兩相鄰頂點(diǎn)彼此靠近合而為一，使之變成一五邊形。然后他考察六邊形的性質(zhì)在圖形連續(xù)變化時(shí)出現(xiàn)什么情況，來(lái)推斷出五邊形的性質(zhì)。同樣，他從五邊形變到四邊形。

從射影幾何研究工作中明顯出現(xiàn)的第二個(gè)思想是變換和不變性。從某點(diǎn)作一圖形的投射，然后取其截景，就是把原圖形變換成一個(gè)新圖形。原圖形中值得研究的性質(zhì)是那些在變換后保持不變的性質(zhì)。17世紀(jì)的其他一些數(shù)學(xué)家如圣文森特的格雷戈里（Gregory of St. Vincent，1584—1667）和牛頓還引入了投射取截法之外的其他變換。

射影幾何學(xué)家也著手進(jìn)行代數(shù)學(xué)家（特別是韋達(dá)）所開創(chuàng)的尋求一般方法的研究。在希臘時(shí)代，證明方法的功效是有限的。每個(gè)定理都需要新的一種辦法。歐幾里得和阿波羅尼奧斯似都不關(guān)心找一般方法。但笛沙格卻強(qiáng)調(diào)投射取截法，因他看出凡是對(duì)圓證明了的性質(zhì)，都可拿它作為一般方法來(lái)證明它們對(duì)圓錐曲線也成立。他又從對(duì)合與調(diào)和點(diǎn)組的概念，看到有比歐幾里得幾何里更一般性的概念。事實(shí)上，四個(gè)形成調(diào)和組的點(diǎn)，若其中之一在無(wú)窮遠(yuǎn)處，就變成三個(gè)點(diǎn)，其中一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)處。于是調(diào)和點(diǎn)組的概念及有關(guān)的定理比一點(diǎn)平分一線段的概念更一般。笛沙格和帕斯卡想從單獨(dú)一個(gè)定理推出盡可能多的結(jié)果來(lái)。博斯說(shuō)笛沙格從他的對(duì)合定理推出了阿波羅尼奧斯的60個(gè)定理，受到帕斯卡的稱頌。

帕斯卡通過尋求不同圖形之間的關(guān)系也想找出處理這些圖形的共同原理。據(jù)說(shuō)帕斯卡從他關(guān)于六邊形的定理得出了約400個(gè)系，但現(xiàn)在找不到他在這方面的著作了。注重方法的精神在拉伊爾1685年的著作中是很明顯的，因它的主要目標(biāo)是顯示投射取截法比阿波羅尼奧斯的方法、甚至比笛卡爾的代數(shù)方法優(yōu)越。追求結(jié)果與方法的一般性，在其后的數(shù)學(xué)工作中成為一股強(qiáng)大的力量。

幾何學(xué)家無(wú)意中又發(fā)掘出另一類一般性。許多定理，如笛沙格的三角形定理，處理的是點(diǎn)和線的相交問題，而不是像歐幾里得幾何里處理的線段、角度和面積的大小問題。線的相交這一事實(shí)在邏輯上應(yīng)先于考慮量的大小，因?yàn)檎窍嘟贿@樣的事實(shí)才確定了一個(gè)圖形的組成。幾何的一個(gè)新的基本的分支誕生了，它著重位置和相交方面的性質(zhì)，而不是大小和度量方面的性質(zhì)。

雖然射影幾何方面的工作起初是為了想給畫家提供幫助而研究的，但后來(lái)就分散到圓錐曲線方面并與之合流，因那時(shí)對(duì)圓錐曲線的興趣又高漲起來(lái)了。不過純粹數(shù)學(xué)并不迎合17世紀(jì)的時(shí)尚，那時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)理解自然和控制自然的問題——簡(jiǎn)言之就是對(duì)科學(xué)問題——遠(yuǎn)比這個(gè)來(lái)得關(guān)心。用代數(shù)方法處理數(shù)學(xué)問題一般更為有效，特別是易于得出科技所需要的數(shù)量結(jié)果。而射影幾何學(xué)家用綜合方法得出的定性結(jié)果并不那樣有用。因此射影幾何就讓位給代數(shù)、解析幾何、微積分，而這些學(xué)科又進(jìn)一步產(chǎn)生出在近代數(shù)學(xué)中占中心地位的其他學(xué)科。笛沙格、帕斯卡和拉伊爾得出的結(jié)果被人遺忘了，直到19世紀(jì)才又重新被人發(fā)現(xiàn)，而那時(shí)候新獲得的結(jié)果和新觀點(diǎn)使數(shù)學(xué)家能培育出潛伏在射影幾何里的重要思想。

下一講坐標(biāo)幾何。