射影幾何的發(fā)展簡況

    十七世紀，當笛卡兒和費爾馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學同時出現(xiàn)在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經引起一些學者的注意，歐洲文藝復興時期透視學的興起，給這門幾何學的產生和成長準備了充分的條件。這門幾何學就是射影幾何學。

    基于繪圖學和建筑學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。

   在文藝復興時期，人們在繪畫和建筑藝術方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實物的圖形。那時候，人們發(fā)現(xiàn)，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。

    射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，開普勒最早引進了無窮遠點概念。稍后，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數(shù)學家——笛沙格和帕斯卡。

    笛沙格是一個自學成才的數(shù)學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，后來鉆研工程技術，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。

    迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那么對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。

    帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了《圓錐曲線論》一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數(shù)幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。后來他寫了許多有關射影幾何方面的小冊子。

    不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關聯(lián)性質而不涉及度量性質(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致產生一個新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。    

    射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。

    1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認識到射影幾何是一個新的數(shù)學分支的第一個數(shù)學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應并用它來確立對偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡單圖形產生較復雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進的。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系，進而使交比也不依賴于長度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。

    另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，于是從代數(shù)觀點就自然得到了對偶原理，并得到了關于一般線素曲線的一些概念。

    在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數(shù)學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。

    射影幾何學的發(fā)展和其他數(shù)學分支的發(fā)展有密切的關系，特別是“群”的概念產生以后，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。

    把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，并把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關系變得十分明朗。這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。后來嘉當?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的貢獻。

射影幾何學的內容

    概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關系的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。

    在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。

    在引入無窮遠點和無窮遠直線后，原來普通點和普通直線的結合關系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。

    由于經過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

    射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應。

    在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關于點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。

    這就是射影幾何學所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。

    研究在射影變換下二次曲線的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內容。

    如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學< 仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學里可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學里不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學里也不能討論圖形的度量性質。

    1872年，德國數(shù)學家克萊因在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計劃書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學里，主要研究在相應的變換下的不變量和不變性。