一、據(jù)定積分的定義表示被積函數(shù)為冪函數(shù)的定積分

設(shè)被積函數(shù)為冪函數(shù)的定積分為

將積分區(qū)間勻分成n等分（n→∞），則有

用寬、長分別是 、 、…的矩形面積和替代各曲邊梯形面積和

依據(jù)定積分的定義，被積函數(shù)為 y=x^k，，在積分區(qū)間為閉區(qū)間[o a]上的定積分就是

二、冪函數(shù)定積分與自然數(shù)方冪和的計(jì)算

 k＞0，依據(jù)萊布尼茨公式有

當(dāng)n→∞，

因?yàn)?/span>

所以

等式兩邊同除以得

依據(jù)精確的自然數(shù)正整數(shù)次方的冪和公式判斷，上述等式是不成立的。當(dāng)自然數(shù)n→∞的情況下，這個極限的值為1。

用歸納法可證明這個極限的值為1。所以，當(dāng)自然數(shù)n→∞的情況下，自然數(shù)正整數(shù)次方的冪和s可用公式

作近似計(jì)算。

當(dāng)自然數(shù)n→∞，K為正分?jǐn)?shù)的情況下，能不能用此公式進(jìn)行自然數(shù)方冪和的近似計(jì)算？從公式的推導(dǎo)過程來看，答案是肯定的。限于計(jì)算工具、計(jì)算技巧方面的問題，這里不舉例驗(yàn)證。