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百折千回恒成立 ◆?◆?◆ 文 | 楊春波 恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的重要題型，在高考中常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合以壓軸題的身份出現(xiàn)，是整個(gè)高中教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。 已知某含參的函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍是高中的一類熱點(diǎn)問題，這類問題的處理思路大致有兩種：一種是分離參數(shù)，再去求分離后所得不含參函數(shù)的最值；另一種是直接去處理這個(gè)函數(shù)，為了得到含參函數(shù)的最值，往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類，去討論單調(diào)性與最值。 很多問題在兩種思路的處理難度上差別不大——兩種方法均可，但有些問題其中一種思路明顯優(yōu)于另一種思路，甚至只有一種思路可行，這需要大家解題時(shí)先觀察判斷，解完題后多思考總結(jié)。 筆者近日發(fā)現(xiàn)2016年高考四川卷理科數(shù)學(xué)第21題是一道不可多得的恒成立問題，值得細(xì)細(xì)品味。它就像一瓶陳釀老酒，越品越香，越咂味越濃。此題第（Ⅱ）問難度不低，筆者的求解過程也是曲曲折折，反反復(fù)復(fù)，最終收獲了不少解題感悟，與讀者分享如下。 一 試題呈現(xiàn)  二 分析與解 第（Ⅰ）問較常規(guī)，只是求導(dǎo)之后別忘記定義域就好。 下面用“含參分類討論”和“參變量分離”的方法逐一試之。 2.1 直接移項(xiàng)，含參分類討論  于是，必有a>0！但這又該如何處理呢？多項(xiàng)式和指數(shù)型混雜在一起的感覺很棘手。 2.2 參變量分離  2.3 逼上梁山 兩次等價(jià)轉(zhuǎn)化均以失敗告終，被逼無奈，只能另謀出路。吸取剛才的教訓(xùn)：總是因?yàn)楹瘮?shù)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜而草草收場。 每一次求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)的符號都不易判定？右側(cè)這個(gè)函數(shù)竟如此詭異，讓人捉摸不透。 2.4 善于聯(lián)想  2.5?再次投入分類討論的懷抱   三 解題啟示 以上解題過程百折千回，從中我們至少可以獲得以下啟示： 1 遇到問題，先試常規(guī)思路。如本題面對恒成立問題，先嘗試了兩種等價(jià)轉(zhuǎn)化方法——含參分類討論和參變量分離。如若行不通，則考慮調(diào)轉(zhuǎn)思路。解題要學(xué)會(huì)變通。 2 與其望題興嘆，不如勇敢嘗試。大多數(shù)嘗試都是有價(jià)值的，即使失敗的方法也能為我們提供點(diǎn)滴線索。如本題中參變量分離的方法幫我們確定了最終答案的形式，這在最后的分類討論里，指導(dǎo)我們由求解a的取值范圍轉(zhuǎn)向證明a≥1/2符合題意。明確目標(biāo)之后，解題會(huì)變得順暢。 3 多積累掌握一些經(jīng)典結(jié)論，做題時(shí)才能觸發(fā)靈感，廣泛聯(lián)系。 4 不等式放縮很靈活，沒有定式、定法，技巧性較強(qiáng)。只有不斷練習(xí)，多次嘗試，才能領(lǐng)悟深刻。放縮的方式也并不唯一，有時(shí)還可轉(zhuǎn)向函數(shù)視角求最值，從而避免放縮過頭。本題中，當(dāng)a≥1/2時(shí)，我們尋找到了證明F′(x)>0的三種放縮方式，雖然大同小異，但也各有千秋，望讀者細(xì)心體會(huì)。 5 解題時(shí)要瞻前顧后，綜合考慮多種方法。沒有哪種方法是萬能的，是包解百題的。高考壓軸題往往是綜合了多種方法和策略的，切忌過分迷戀一種方法，幻想一招制敵。 |
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