說(shuō)出來(lái)你可能不信

但這是真的

今天學(xué)習(xí)了除法的表妹跑來(lái)問(wèn)我：為什么不能除以0？

就這個(gè)問(wèn)題，我專門請(qǐng)來(lái)了高冷的Siri。

同樣是數(shù)字，0為什么就會(huì)這么慘呢？

今天超模君跟你剖析不能除以0的秘密？

小學(xué)篇

小學(xué)老師會(huì)直接給你來(lái)一句：別問(wèn)，問(wèn)就是沒(méi)意義！

怎么理解？

我們說(shuō)1÷2可以理解為1個(gè)東西分成2份。

同樣：1÷3可以理解為1個(gè)東西分成3份。

但是：1÷0可以理解為1個(gè)東西分成0份。

就是說(shuō)，你啥也不用干！那啥也不用干，你為什么還要除以0呢，所以沒(méi)意義。

這結(jié)論沒(méi)錯(cuò)，但這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)科，怎么解釋的一點(diǎn)逼格也沒(méi)有呢？

初中篇

所以，接下來(lái)超模君稍微認(rèn)真點(diǎn)。

首先，除法起源于乘法，乘法的逆向運(yùn)算。說(shuō)這個(gè)有什么用呢？因?yàn)槊鎸?duì)除法式子，我們可以把它轉(zhuǎn)化為乘法式子。

比如在被除數(shù)不為0的時(shí)候：

1 ÷ 0 = ？

我們可以理解為0乘以一個(gè)數(shù)等于1，但是常識(shí)告訴我們不可能，因?yàn)?strong>0乘以任何數(shù)都是0。

另外，當(dāng)被除數(shù)是0的時(shí)候：

0 ÷ 0 = ？

我們可以理解為0乘以一個(gè)數(shù)等于0，嗯，沒(méi)錯(cuò)啊，因?yàn)?乘以任何數(shù)都是0。

但到底是什么數(shù)啊？這意味著 0 ÷ 0有無(wú)數(shù)個(gè)答案，根本無(wú)法確定。

高中篇

當(dāng)然，我們可以換個(gè)角度想想，用武林中失傳已久的方法：反證法！

首先假設(shè)可以除以0，那么任何一個(gè)數(shù)除以0之后就一定會(huì)有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。我們用不同的字母代表可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果。比如：

1 ÷ 0 ＝ a

2 ÷ 0 ＝ b

3 ÷ 0 ＝ c

……

因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪嫦蜻\(yùn)算，我們可以得出：

1 ＝ a × 0 ＝ 0

2 ＝ b × 0 ＝ 0

3 ＝ c × 0 ＝ 0

……

進(jìn)一步可以推出，1＝2＝3＝……＝0。因此，假設(shè)不成立。

什么都是0，這不就是要四大皆空的節(jié)奏嗎？

大一篇

可能有些學(xué)過(guò)微積分的朋友會(huì)反駁，“可以除以0的，結(jié)果不就是∞么?！?/p>

實(shí)際上，這個(gè)說(shuō)法并不對(duì)。

首先我們用極限思維來(lái)思考這個(gè)事情。

1÷0.1=10

1÷0.01=100

1÷0.001=1000

1÷0.0001=10000

......

1÷0.000000000......00001=10000.......00000

意味著1除以一個(gè)很小很小的正數(shù)，得到一個(gè)超級(jí)大的正數(shù)。

同理：

1÷(-0.1)=-10

1÷(-0.01)=-100

1÷(-0.001)=-1000

1÷(-0.0001)=-10000

......

1÷(-0.000000000......00001)=-10000.......00000

意味著1除以一個(gè)很小很小的負(fù)數(shù)，得到一個(gè)超級(jí)大的負(fù)數(shù)。

1除以一個(gè)無(wú)窮接近于0的正數(shù)和一個(gè)無(wú)窮接近于0的負(fù)數(shù)，走向的結(jié)果一個(gè)是正無(wú)窮，一個(gè)是負(fù)無(wú)窮。在這個(gè)中間經(jīng)歷了多大的鴻溝，到底經(jīng)歷了什么，我不得而知。而他們的中間，除以的正是0。

因此，微積分課程里會(huì)強(qiáng)調(diào)，∞這個(gè)符號(hào)只是代表一個(gè)趨勢(shì)，并不是一個(gè)確切的數(shù)，是不能參與運(yùn)算。

大二篇

看到這里，同學(xué)們肯定不會(huì)服氣：雖然一個(gè)數(shù)除以0是未定義的，但并不是就意味沒(méi)有啊。

沒(méi)錯(cuò)，的確如此。

于是一個(gè)大膽的想法蹦了出來(lái)：制定新規(guī)則。畢竟，數(shù)學(xué)家也不是沒(méi)有試過(guò)。

在過(guò)去很長(zhǎng)一段時(shí)間里，平方根里面是不能放負(fù)數(shù)的。后來(lái)數(shù)學(xué)家將負(fù)數(shù)的平方根定義為一個(gè)新的數(shù)字，稱為i，一個(gè)全新的復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)世界從此被開(kāi)辟了。

既然他們都可以這樣做，我們也來(lái)湊個(gè)熱鬧唄，直接定義 1 / 0 = w，w是個(gè)“無(wú)限大”的數(shù)。

定義一時(shí)爽，一直定義一直爽。

我們雖然可以隨便定義東西，但如果和現(xiàn)有的數(shù)學(xué)體系不相容，就會(huì)用得很苦逼，甚至不能用。

那么先來(lái)幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：1 + w等于多少？w - w等于多少？

我們可能會(huì)有這樣的的直覺(jué)：無(wú)窮大加1不也是無(wú)窮大么！至于無(wú)窮大減無(wú)窮大不就等于0，自己減自己嘛！

我們不妨來(lái)加減一下。

1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1

可是

( 1 + w ) - w = w - w = 0

這里面涉及到的結(jié)合律，是加法里最基本的東西。也正因?yàn)樗?，才使得許多數(shù)學(xué)定理得以證明。

可想而知，如果結(jié)合律坍塌，那涉及到它的數(shù)學(xué)定理也一樣兵敗如山倒。為了能除以0，舍棄如此重要的結(jié)合律，明顯不劃算。

那還不如老老實(shí)實(shí)用舊體系。

說(shuō)人話就是這個(gè)定義......

大三篇

有些同學(xué)可能不服氣，就是要反對(duì)：還有很多的定義方式，我就不信沒(méi)有！而且將來(lái)也會(huì)有新的辦法啊。

如果有能夠?qū)⒊?完美融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系的辦法，那自然是最好，然而不大可能。其他學(xué)科可以通過(guò)新發(fā)現(xiàn)來(lái)推翻舊結(jié)論，但在數(shù)學(xué)里走不通。因?yàn)閿?shù)學(xué)在兩千多年的發(fā)展都是建立邏輯上，假如確實(shí)存在w這一個(gè)數(shù)，那么它一定違反了我們現(xiàn)有數(shù)學(xué)體系中的公理。

比如“皮亞諾公理”。

Ⅱ、每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都具有確定的后繼數(shù)a' ，a'也是自然數(shù)(數(shù)a的后繼數(shù)a'就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的整數(shù)(a+1)。例如:1'=2，2'=3等等。)Ⅳ、不同的自然數(shù)有不同的后繼數(shù)，如果自然數(shù)b、c的后繼數(shù)都是自然數(shù)a，那么b=c。

那么問(wèn)題又又來(lái)了， w 是哪個(gè)數(shù)的后繼數(shù)?。磕膫€(gè)數(shù)加上1能得到 w？

你會(huì)發(fā)現(xiàn)根本說(shuō)不出來(lái)，因?yàn)樗心隳芟氲降臄?shù)字都已經(jīng)有屬于自己的后繼，只要把 w 當(dāng)成一個(gè)數(shù)，那就沒(méi)法兼容我們現(xiàn)有的實(shí)數(shù)。

值得一提的是，如果皮亞諾公理沒(méi)了，整個(gè)自然數(shù)的體系就都不能成立。

大四以上篇

那是不是就意味著表達(dá)式 1 / 0 = ∞ 也不能寫？

也不是不能。

事實(shí)上，還有一種“黎曼球面”的概念，是一種將復(fù)數(shù)平面加上一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的擴(kuò)張。

里面涉及到“復(fù)無(wú)窮”的一個(gè)東西，是擴(kuò)充復(fù)平面上有定義的一個(gè)點(diǎn)。

在這個(gè)特殊的規(guī)則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個(gè)表達(dá)式，但無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的算數(shù)區(qū)別于一般的代數(shù)規(guī)則不符。比如你不能把0放到式子右邊，寫成 1 = 0×∞。

然而這個(gè)黎曼球解決的并非是我們能否除以0的問(wèn)題，它主要應(yīng)用在分析和幾何的其他學(xué)科，譬如量子力學(xué)和物理學(xué)其他分支。

總結(jié)篇

說(shuō)到底，0能不能作為除數(shù)只是一個(gè)規(guī)定問(wèn)題，如果確實(shí)要討論的話，那就只是在討論這個(gè)規(guī)定的合理性，所以在通常意義下0不能作為除數(shù)，否則會(huì)違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。

當(dāng)你可以完美的除以0，就推翻整個(gè)數(shù)學(xué)界了。