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職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間 大家好！微信公眾號《職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間》決定面向公眾開設(shè)《通俗數(shù)學(xué)》專欄，希望能讓人人都能理解數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)！傳播數(shù)學(xué)是我們的神圣使命，敬請掃描??關(guān)注我們！ 我接下來計劃寫的許多數(shù)學(xué)普及文章都需要用到負數(shù)和復(fù)數(shù)。考慮到公眾可能會對這兩類數(shù)，尤其是復(fù)數(shù)感到陌生，所以這個專欄一開始就計劃寫兩篇文章分別介紹負數(shù)和復(fù)數(shù)。這是第一篇。 一、引入負數(shù)之前，人類已經(jīng)知道了哪些數(shù)？ 自然數(shù)，是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 人類最早認識的數(shù)其實是非零的自然數(shù)，但即使是這種認識，也經(jīng)歷了非常漫長的時間。認識到十只兔子的10，和十條魚的10是一回事，對于早期狩獵的原始人來說，是非常不容易的！ 如果說人類接觸非零的自然數(shù)的歷史可以追溯到幾十甚至幾百萬年前的話，0這個數(shù)的正式引入也就是兩千多年前的事，而把0歸入自然數(shù)只是幾十年前的事。即使到今天，公眾談?wù)?這個數(shù)時可能還會覺得有些不解和神秘感。 人類認識的第二種數(shù)是分數(shù)。在日常生活中，分數(shù)也是無處不在的。比如，下面是1塊蛋糕， 分數(shù)，是指形如m/n的數(shù)(其中m和n都是非零自然數(shù))，表示將m分成相同大小的n份后，每一份的大小，也稱為m和n的比值。我們稱m為分子，n為分母。分數(shù)通常也寫作 分數(shù)和自然數(shù)都可以表示量，比如大小，面積或者長度。 但是有些長度是無法用分數(shù)和自然數(shù)表示的，比如單位正方形的對角線，它的長度√2就不是分數(shù)。 關(guān)于這一點以及為什么單位正方形對角線的長度為√2，我們在文章《為什么√2不等于分數(shù)》中已經(jīng)詳細介紹了。 如何擴充自然數(shù)和分數(shù)構(gòu)成的數(shù)系呢？從新數(shù)√2的發(fā)現(xiàn)來看，一種可行的方式是用長度來表示數(shù)，而這就引出了數(shù)軸的概念。 數(shù)軸是指從一個固定的點(原點)向右一直延伸到無窮的射線。數(shù)軸上的每一個點到原點都有一個固定的距離或長度，而這個長度又對應(yīng)唯一的一個數(shù)。比如0就對應(yīng)原點。按照這種方式，數(shù)軸上的所有點和所有可以表示長度的數(shù)之間可以完美地對應(yīng)起來，越是靠右邊的點，它所對應(yīng)的數(shù)就越大。每個這樣的數(shù)(包括√2)都可以在數(shù)軸上找的自己的位置，雖然顯得很擁擠。 正數(shù)，是指大于零的數(shù)，也就是表示非零長度的數(shù) 可以表示長度的數(shù)的加法運算是非常簡單的，無非就是長度的拼接。 如何理解乘法呢？從數(shù)軸的角度來看，乘法代表著數(shù)軸保持原點不動的伸縮。 比如將所有的數(shù)都乘上2，相當于讓數(shù)軸沿右伸長成原來的2倍，乘上1/3相當于讓數(shù)軸收縮成原來的1/3。這種變換(比如伸長，縮短，以及后面將會提到的旋轉(zhuǎn))的觀點在高等數(shù)學(xué)中非常普遍。 好了，這些就是人類在認識負數(shù)之前，已經(jīng)知道的關(guān)于數(shù)的最主要的知識。 二、負數(shù)的引入 前面提到人類認識到十只兔子的10，和十條魚的10是一回事的時候，就已經(jīng)開始接觸自然數(shù)了。但同樣的數(shù)字在相反的語境下，卻有完全不同的意味。比如我手頭有2萬元錢的2，和我欠別人2萬元的2；我今年賺了50萬元錢的50，和我今年賠了50萬元錢的50；海拔300米的300和海底300米的300；向左移動6米的6和向右移動6米的6。區(qū)分這些相反語境下的數(shù)字就導(dǎo)致了負數(shù)的引入。 負數(shù)，是在正數(shù)x前面加一個減號，寫作—x，代表著和正數(shù)x相反的量。我們稱x和—x是相反數(shù)。－2，－5，－1/3，－√2，分別讀作負二，負五，負三分之一，負根號二。－2和2 是相反數(shù)，1/3和－1/3是相反數(shù)。 比如我欠別人2萬元可以說成，我手頭有－2萬元錢；我今年賠了50萬元錢，可以說成，我今年賺了－50萬；海底300米可以說成海拔－300米；向左移動6米可以說成向右移動－6米。大家可能會覺得這類說法會很繞口，但是負數(shù)的引入使得人們可以不必在相反的語境之間不斷轉(zhuǎn)換，這在很多情況下，(比如商業(yè)活動，計算和測量)給人們帶來各種便利。日常生活的負數(shù)也是隨處可見的，比如天氣預(yù)報中的－5℃(零下5度)，電梯中的－1層－2層等等。 實數(shù)：我們把負數(shù)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為實數(shù) 上一節(jié)講過零與正數(shù)，和數(shù)軸上的點完全對應(yīng)，比如從數(shù)軸原點出發(fā)，向右移動2個單位距離，就到了數(shù)2對應(yīng)的點。引入負數(shù)后，我們希望這種對應(yīng)法則依然保持，而這就要求我們把數(shù)軸向左無限延伸。此時，向右移動－2個單位距離，就應(yīng)該到達數(shù)－2對應(yīng)的點，而我們前面講過了向右移動－2個單位距離也就是向左移動2個單位距離，所以－2對應(yīng)的點在原點的左邊，距離原點為2。下圖表示擴充后的數(shù)軸，數(shù)軸上的點和實數(shù)(包括負數(shù)，0，正數(shù))完全對應(yīng)，和上一節(jié)一樣越是靠右邊的點，它所對應(yīng)的數(shù)就越大。比如－4<－1<0。 四、加減法 在引入負數(shù)之前，人們可能會認為 3－5 這樣的運算沒有意義，但現(xiàn)在情況不一樣了。想想看你昨天賺了3萬元，但今天又賠了5萬元，那你這兩天賺了多少錢呢？實際上應(yīng)該是賠了2萬元，或者說賺了－2萬元。寫出等式就是 3－5 ＝－2 但是今天賠了5萬元又可以說成是今天賺了－5萬元，所以上面的等式也可以寫成： 3＋ (－5) ＝－2 法則：加上一個負數(shù)等于減去相應(yīng)的正數(shù)。特別地，兩個相反數(shù)的和為0，比如：3＋ (－3) ＝0 再來看一個形象的比喻：一個富翁，他的個人固定資產(chǎn)是3千萬，銀行存款是5千萬，他還欠朋友2千萬。如果我們統(tǒng)計他的總資產(chǎn)的話，應(yīng)該是把三個部分加起來 3 5 (—2)＝6 (千萬) 而且不論我先加哪兩個部分，再加第三個部分，計算結(jié)果都應(yīng)該是一樣的。這就引出了交換律和結(jié)合律 在實數(shù)的加法中，交換律和結(jié)合律還是成立的： a b＝b a； (a b) c＝a (b c) 好了再回到上面那個有6千萬總資產(chǎn)的富翁，如果他的朋友突然免除了他的2千萬債務(wù)，等于說他的資產(chǎn)增加了2千萬。這時計算他的新的總資產(chǎn)就應(yīng)該是 6－(—2)＝6＋2=8 (千萬) 法則：減去一個負數(shù)等于加上相應(yīng)的正數(shù)。 所以引入負數(shù)后，加減法還是比較簡單的，而乘法則更難理解。 五、乘法，為什么負負得正？ 我們先來看負數(shù)乘以正數(shù)的情況，再來個比喻，如果你做生意，每天賺了5萬元，10天之后就賺了 5×10＝50 （萬） 但如果你每天賠了5萬元，或者說每天賺了－5萬元，那么10天之后就是 賠了50萬，或者說賺了 (—5)×10＝－50 （萬） 法則：負數(shù)乘以正數(shù)等于相應(yīng)的正數(shù)相乘，再加個負號（正負得負，負正得負） 從數(shù)軸的角度來看，實數(shù)(不論正數(shù)還是負數(shù))乘上某個正數(shù)，比如2，的效果就是讓數(shù)軸保持原點不變，左右同時伸長成原來的2倍。所以負數(shù)乘正數(shù)得到負數(shù)是不難理解的。 真正難理解的是，為什么負數(shù)乘負數(shù)會得到正數(shù)(負負得正)。幾百年前，當人們剛引進負數(shù)的時候，這個問題就引發(fā)巨大的爭議，甚至連當時的一些著名的數(shù)學(xué)家都無法接受負數(shù)乘負數(shù)會得到正數(shù)。直到今天，仍然有不少人會問為什么—1乘以—1會等于1？ 如何形象地說明負負得正呢？我們還是拿賺錢來做比喻。假如有個人從2009年到2029年20年時間內(nèi)年年都做生意，年年剛好賠30萬元，也就是賺—30萬元，從現(xiàn)在(2019年)開始算，5年后他的資產(chǎn)會比現(xiàn)在多 (—30)×5＝－150（萬） 也就是，5年后他的資產(chǎn)會比現(xiàn)在少150萬。而10年后他的資產(chǎn)會比現(xiàn)在多 (—30)×10＝－300（萬） 那么—10年后他的資產(chǎn)會比現(xiàn)在多多少呢?自然應(yīng)該是 (—30)×(－10) 但是—10年后，也就是10年前，他的資產(chǎn)應(yīng)該比現(xiàn)在多300萬(因為年年賠30萬嘛)，所以我們就有等式： (—3)×(－10)＝300（萬） 當然了，這只是一種形象，粗淺的說法。負負得正還有更深刻的內(nèi)在理由：保持各種加法乘法定律！ 自然數(shù)，分數(shù)，甚至正數(shù)的加法和乘法會滿足各種定律，比如，交換律，結(jié)合律，分配律，0乘定律。 乘法交換律和結(jié)合律：ab＝ba；(ab)c＝a(bc) 加法和乘法的分配律：(a b)c＝ac bc 0乘定律：任何數(shù)乘上0都等于0 比如5×3=3×5，(2 5)×3=2×3 5×3，(—5)×0＝0，1×(—5)＝—5。 在數(shù)學(xué)中各種定律是不能輕易破壞的。 以后，大家會看到，復(fù)數(shù)引入后這些定律還是成立的，而為了引入四元數(shù)，我們不得不犧牲乘法交換律，這是非常遺憾但也是不可避免的事情。 引入負數(shù)之后，我們當然還希望這些定律能保持成立。根據(jù)0乘定律，我們應(yīng)該有 (3 (－3))×(－10)＝0×(－10)=0 而根據(jù)分配律，上面等式的左邊應(yīng)該是 (3 (－3))×(－10)＝3×(－10)＋(－3)×(－10) 我們之前已經(jīng)知道了 3×(－10)＝－30 所以(－3)×(－10)應(yīng)該等于30。 考考您：我們前面已經(jīng)講過為什么3×(－10)＝－30。您能否用0乘定律和分配律直接推導(dǎo)出3×(－10)＝－30？ 從數(shù)軸的角度也可以非常直觀的理解負數(shù)乘法，比如乘以—1的作用相當于是讓數(shù)軸上的點從原點的一邊移到另一邊，并保持和原點的距離不變，也相當于讓整個數(shù)軸沿著原點轉(zhuǎn)動180度。等我們講下一期《復(fù)數(shù)介紹》的時候，大家會發(fā)現(xiàn)，這種轉(zhuǎn)動的解釋非常重要！
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