全等三角形是初中數學中的重要內容之一，之前講了遇到等腰三角形，中線，角平分線的輔助線的做法。今天繼續(xù)補充完整。

三角形的重點難點

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

如圖，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

在CD上截取CF=BC，如圖：△FCE≌△BCE（SAS），證△FDE≌△ADE（ASA）.

思路分析：

本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解題反思：

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

一題多解，玩轉輔助線

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

△ADO≌△AQO

（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。

（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

三角形輔助線規(guī)律

圖中有角平分線，

可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，

對稱以后關系現。

角平分線平行線，

等腰三角形來添。

角平分線加垂線，

三線合一試試看。

線段垂直平分線，

常向兩端把線連。

線段和差及倍半，

延長縮短可試驗。

線段和差不等式，

移到同一三角形。

三角形中兩中點，

連接則成中位線。

三角形中有中線，

延長中線等中線。