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在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用。而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗。

截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。 截長補(bǔ)短法有多種方法。

截長法：

（1）過某一點(diǎn)作長邊的垂線

（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補(bǔ)短法：

（1）延長短邊。

（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。

先來一題：

已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°

因為平角等于180°，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實現(xiàn)。

補(bǔ)短

補(bǔ)短就是將一個已知的較短線段， 延長至與另一個已知的較短線段的長度相等， 然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系。對于具體問題， 有時通過截長補(bǔ)短法， 可構(gòu)成某種特定的三角形來求解。

已知，如下圖，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.

求證：∠BAP+∠BCP=180°.

與上題相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。

1.中線倍長， 構(gòu)造全等三角形

中線倍長就是把三角形的中線延長， 使延長的線段等于原中線的長， 想法構(gòu)造全等三角形， 使原來不在一個三角形的線段集中到一個三角形中， 再根據(jù)題目已知條件進(jìn)行解．

在△ABC 中， AB = 12， AC= 8， AD是BC邊上的中線， 求AD的取值范圍。

例題：

在△ABC 中， AB = 12， AC= 8， AD是BC邊上的中線線， 求AD的取值范圍。

分析：

欲求 AD 的取值范圍， 聯(lián)想到三角形三邊的關(guān)系， 必須設(shè)法把 AB、 AC、 AD 轉(zhuǎn)移到同一個三角形中， 故可以延長 AD 到 E， 使 DE = AD， 連結(jié)BE， 若能證△BDE≌△CDA， 則有BE = AC． 而 AE = 2AD， 在 △ABE 中不難求出AE 的取值范圍。

2.利用補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形

這是幾何證明常用的方法， 它是把較短的線段延長， 再根據(jù)角的關(guān)系， 找出等腰三角形。 通過腰相等進(jìn)行轉(zhuǎn)換， 把兩條線段轉(zhuǎn)移到

一條線段上來， 最后利用三角形全等， 使問題的結(jié)論水落石出。

舉例：

學(xué)生比較難想到的應(yīng)該是倍長中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形。

在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法。常見的解題過程為：倍長中線法的過程：延長XX到X點(diǎn)，使線段XX等于XX（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）。

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