將函數(shù)y=e^x、y=sinx、y=cosx用冪級數(shù)展開,有 
e^x=exp(x)＝1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3?。玿^4/4！＋…＋x^n/n?。?<1>

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+… <2>

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
將<1>式中的x換為ix,得到<4>式；
將i*<2>+<3>式得到<5>式。比較<4><5>兩式，知<4>與<5>恒等。
于是我們導出了e^ix=cosx+isinx，
將公式里的x換成-x，得到： 
e^-ix=cosx-isinx，
然后采用兩式相加減的方法得到： 
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，
cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 
此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復數(shù)集。 

在數(shù)學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數(shù)學分支之中。 
（1）分式里的歐拉公式： 
a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 
當r=0,1時式子的值為0  
當r=2時值為1 
當r=3時值為a+b+c 
（2）復變函數(shù)論里的歐拉公式： 
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。 
它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。 
將公式里的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，
然后采用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2. 
這兩個也叫做歐拉公式。 
（3）三角形中的歐拉公式： 
設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr 
（4）拓撲學里的歐拉公式： 
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。 
如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍。 
（5）初等數(shù)論里的歐拉公式： 
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。 
歐拉證明了下面這個式子： 
如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有 
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 
利用容斥原理可以證明它。 
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。