“張量”還是蠻復(fù)雜的，所以這里挖一個坑，開一個專題來講解。

根據(jù)維基百科的介紹，“張量”一詞最初由威廉·羅恩·哈密頓在1846年引入。對，就是那個發(fā)明四元數(shù)的哈密頓：

1890年格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅的《絕對微分幾何》、1900年列維-奇維塔的《絕對微分》進(jìn)一步在數(shù)學(xué)上發(fā)展了“張量”的概念。

偉大的物理學(xué)家，愛因斯坦為了描述他的天才想法，惡補(bǔ)了黎曼幾何和張量分析，終于在這兩大數(shù)學(xué)工具的幫助下，創(chuàng)立了他最為得意的彎曲時空的物理理論：廣義相對論。至此張量在物理上大放光彩。如果想學(xué)習(xí)廣義相對論，張量肯定是需要學(xué)習(xí)的。

廣義相對論中最核心的思想就是質(zhì)量會帶來時空彎曲，就好像保齡球滾過長絨地毯：

可以想象，時空彎曲中有大量的幾何關(guān)系，為了描述復(fù)雜的幾何關(guān)系，愛因斯坦引入了“張量”，比如著名的愛因斯坦場方程 ：

上面式子中，  就是各種的張量。

可以先有一個直觀印象，“張量”就是用來描述幾何的，這里幾何指的是什么？后面很快就會解釋。

“張量”在不同的運(yùn)用場景下有不同的定義。

第一個定義，張量是多維數(shù)組，這個定義常見于各種人工智能軟件。聽起來還好理解。

第二個定義，張量是某種幾何對象，不會隨著坐標(biāo)系的改變而改變。

第三個定義，張量是向量和余向量（covector）通過張量積（tensor product）組合而成的。

第四個定義，張量是多重線性映射，即：

其中，  是矢量空間，  是對應(yīng)的對偶空間。

好了，不鬧了，后面的文章會嘗試逐一解釋這四種定義，并且可以看到這四種定義是不斷認(rèn)知升級的結(jié)果。

從第一個定義：張量是多維數(shù)組開始。

現(xiàn)在機(jī)器學(xué)習(xí)很火，知名開源框架tensor-flow是這么定義tensor（張量）的：

也就是說，張量（tensor）是多維數(shù)組，目的是把向量、矩陣推向更高的維度。

更具體點(diǎn)，也即是說：

把三維張量畫成一個立方體：

我們就可以進(jìn)一步畫出更高維的張量：

從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上來看，張量就是多維數(shù)組。

這個定義本身沒有錯，但是沒有真正反映張量的核心。

我們來看下第二個定義：張量是某種幾何對象，不會隨著坐標(biāo)系的改變而改變。

3.1 二維平面

最簡單的幾何對象就是二維平面，在線性代數(shù)中稱為  （這是一個向量空間），下面用一個有顏色的方框來表示  ：

這個  可以通過直角坐標(biāo)系來描述（也就是單位正交基來張成）：

也可以由別的坐標(biāo)系來描述（別的基來張成），當(dāng)然  本身不會因?yàn)榛煌l(fā)生改變：

上面的圖有幾點(diǎn)值得注意：

•  是一個幾何對象，它與坐標(biāo)系（基）無關(guān)

• 可以通過不同的坐標(biāo)系（基）來描述（張成）

• 并且，不同的坐標(biāo)系（基）之間有明確的轉(zhuǎn)換規(guī)則（這個我們后面再說）

那這樣一個幾何對象，  就可以用張量來描述。

3.2 二維平面中的向量

 中的向量，也是一個幾何對象：

當(dāng)  被某個基張成的時候，向量也獲得了坐標(biāo)值：

如果基發(fā)生了變換，坐標(biāo)值也會不斷的變化：

從而可以得到如下的結(jié)論：

• 向量是一個幾何對象，它與基無關(guān)

• 不同的基下，有不同的坐標(biāo)值

• 并且，不同的坐標(biāo)值之間有明確的轉(zhuǎn)換規(guī)則

所以，向量這個幾何對象也可以用張量來描述。

3.3 二維平面之間的線性映射

假設(shè)有如下線性映射：

其實(shí)它也是一個幾何對象，可以圖示如下：

上圖表示左邊  中的一點(diǎn)（一點(diǎn)也對應(yīng)一個向量），通過  ，和右邊  中的一點(diǎn)關(guān)聯(lián)了起來，這就是映射。

當(dāng)用單位正交基來描述左右兩個  ，可以得到一個矩陣  來表示此  ：

不同的基，會獲得不同的矩陣（也就是所謂的等價矩陣），比如說  ：

進(jìn)而得到如下的結(jié)論：

• 線性映射  是一個幾何對象，它與基無關(guān)

• 不同的基下，有不同的矩陣來代表 

• 并且，不同的矩陣之間有明確的轉(zhuǎn)換規(guī)則

所以，  這個幾何對象也可以用張量來描述。

可見，張量可以表達(dá)非常多的線性代數(shù)的研究對象。

借用線性代數(shù)中“張成”這個詞，或許“張量”這個名字的意思就是“可以張成很多線性代數(shù)研究對象的量”。

下一節(jié)，我們會仔細(xì)研究下，張量是怎么去表示向量空間、矢量、線性映射的，以及不同基下的轉(zhuǎn)換規(guī)則是什么。